日々のつれづれ

原始根の概念が手に入ると，ガウス素数を法とする不合同剰余の完全系が簡明に表示されます．mはガウス素数，そのノルムをpとし，hはmの原始根とすると，p-1個のの数の作る系列
1, h, h^2, h^3, ..., h^(p-2)
は法mの不合同剰余の完全系を表します（ただし，oは除外されています）．これを言い換えると，これらの数はどの二つも法mに関して不合同であり，しかもmで割り切れない任意のガウス整数kは，何かあるhの冪と法mに関して合同になります．そこでガウスは，kと合同なhの冪の冪指数を，hを底と見て，与えられた数のインデックスと呼んでいます．
　インデックスの概念が確定すると，ある与えられた数kが法mに関して平方剰余であるか，あるいは平方非剰余であるかの見極めが明瞭になります．以下，法mはつねにガウス奇素数とします． pとhは上記の通りとして，ある与えられたガウス整数kは，hを底と見るときのインデックスが偶数ならmの平方剰余になり，奇数なら平方非剰余になります．こんなところも有理整数域での平方剰余の理論と同様に話が進みます．
　原始根とは別に，平方剰余の理論との関連でもうひとつ気にかかるのは，フェルマの小定理です．この定理によれば，mで割り切れないガウス整数kに対し，合同式
　k^(p-1)-1≡(mod.m)
が成り立ちますが，左辺を因数分解すると，
　(k^((p-1)/2)-1)(k^((p-1)/2)+1)≡0 (mod.m)
という合同式が得られます．これより，k^((p-1)/2)≡1(mod.m)であるか，あるいはk^((p-1)/2)≡-1(mod.m)であるかのいずれかの合同式が成立することがわかります．前者の合同式が成立するとき，kはmの平方剰余であり，後者の合同式が成立するとき，kはmの平方非剰余になります．
　実際，hはmの原始根として，kのインデックスをμとすると，h^μ≡k(mod.m)となります．これより，k^((p-1)/2) ≡1(mod.m)なら，
　k^((p-1)/2)≡h^(μ(p-1)/2)≡1(h^0)(mod.m)
となりますから，μは必然的に偶数であり，kはmの平方剰余になります．また，k^((p-1)/2) ≡-1(mod.m)なら，
　k^((p-1)/2)≡h^(μ(p-1)/2)≡-1(mod.m)
となりますから，μは必然的に奇数であり，kはmの平方非剰余になります．

これまでのところで，数域を拡大してガウス整数域に移っても，加減乗除の演算は有理数域における場合とまったく同様に進行することがわかりました．いくつかのガウス整数を加えても，引いても，乗じても，その結果として生じる数は依然としてガウス整数域の範囲に留まりました．割り算についてはやや複雑な状況が現れました．ガウス整数m=a+biの絶対最小剰余の個数を数えると，mのノルムp=a^2+b^2に等しい個数の剰余がみいだされるというのですが，この点を別にすると，割り算という演算それ自体は有理整数の場合に比べて変るところはありません．これで，ガウス整数域において合同式を考える準備が整いました．
　こんな当たり前のことをなぜわざわざ詳述するのか，かえって不審を感じるほどですが，整数の概念を複素数の世界に及ぼして，新たにガウス整数域を設定するなどということはガウスにしてもはじめての試みですし，加減乗除の基本演算ははたしてどうなるのか，一歩また一歩と慎重に歩を進めていくほかはなかったことと思います．ガウスがこのような一歩を歩んでくれたからこそ，今では当たり前になったのですが，今でもなお当たり前とは言えないこともあります．それは，ガウスはどうして数論を複素数の範囲に及ぼそうと考えるようになったのか，という根源的な問題です．事実関係を見る限り，そうしなければ高次の冪剰余相互法則が見つからなかったからなのではありますが，この点だけはそんな知的な理解を超越し，偉大な数学者に特有の神秘的な印象はいつまでもぬぐえません．数学という学問の魅力の根源でもあります．
　加減乗除の演算に続き，「フェルマの小定理」に相当する定理が提示され，証明されます．

定理
《mはガウス素数とし，そのノルムをpとする．mを法として採用し，kはmで割り切れない整数を表すとすると，合同式
k^(p-1)≡1 (mod.m)
が成立する．》

この定理の形を見ると，有理整数域におけるフェルマの小定理に非常によく似ていますが，類似性はこれのみに留まらず，次に挙げる明大もまた成立します．

定理
《mはガウス素数，kは法mで割り切れない整数とし，tはk^t≡1(mod.m)となるような（0を除いて）最小の冪指数とする．このとき，tはk^u≡1(mod.m)となる他のすべての冪指数uの約数である．》

特にuとしてp-1を取れば，tはつねにp-1の約数であることがわかります．tの大きさがどの程度になるのかは，与えられた数kに依存しますが，もしきっかりt=p-1となる数が存在するなら，そのような数kを指して「法mの原始根」と呼ぶのが相応しく，実際にガウスはそうしています．懸案の基礎的問題は，原始根の存在を証明することですが，これは有理整数の場合にも非常にむずかしく，ガウスは1801年に刊行されたD.A.の中ではじめて証明に成功しました．それから３０年余がすぎて，今また「四次剰余の理論」の第二論文において，ガウス素数の原始根の存在証明に成功しました．

ガウス整数のアリトメチカを考えるうえで，素因子分解とその一意性に続いて重要なのは割り算の可能性ですが，ガウス整数域における割り算は有理整数域における周知の割り算とまったく同様の仕方で遂行されます．有理整数の場合，aは任意の有理整数，bは正の有理整数としてaをbで割ると，
　　a=nb+k
という形の式が得られます．ここで，nはこの割り算における「商」と呼ばれる有理整数，kは「剰余」と呼ばれる有理整数です．この等式の成立を考えるうえではbの正負は問題にならず，負でもさしつかえないのですが，便宜上，正としました．商nと剰余kは一意的に定められるわけではありませんが，kの大きさを0とb-1の間に指定するとただひとつの商と剰余が確定します．その場合の剰余kのことを「絶対最小剰余」と呼びますが，全部でb個の絶対最小剰余が存在することになります．絶対最小剰余が配置される範囲を0とb-1の間に指定するのは，必ずそうしなければならないと決まっているわけではなく，-b/2とb/2の間に指定されることもよくあります．bの正負を定めない場合には，bの代りにその絶対値を用いれば，上記と同じ記述が成立します．この割り算が基礎になってbを法とする合同の概念が確定し，有理整数の合同の理論が構築されるのでした．
　ガウス整数域の割り算もまったく同様に進行しますが，絶対最小剰余の個数を数えると，今度は法のノルムが現れます．その様子は次の定理にはっきりと表明されています．
定理
《与えられた複素法m=a+biのノルムをaa+bb=pとし，a, bは互いに素とすると，任意の複素整数は系列0, 1, 2, 3, ..., p-1のうちのあるひとつの剰余と合同であり，しかもひとつより多くの剰余と合同になることはない．》
系列0, 1, 2, 3, ..., p-1はいわば「絶対最小剰余の完全系」を作りますが，剰余を実数に限定しなければならない理由はなく，次のようにも言えます．
定理
《複素法m=a+biに関して，そのノルムをaa+bb=pと置く．a, bは「互いに素」ではないとし，最大公約数をλ（λは正とする）とする．このとき，任意の複素数は，xは数0, 1, 2, 3, ..., p/λ-1のひとつ，yは数0, 1, 2, 3, ..., λ-1のひとつとして，x+iyという形の剰余と合同になる．しかも，このような形のp個の剰余のすべてのうち，ただひとつの剰余と合同になる．》
　平面上に直行する二本の直線を引き，一方をx軸，もう一方をy軸と名づけると，いわゆるガウス平面が設定されて，複素数x+yiとガウス平面上の点(x, y)が対応します．複素数を視覚的に把握しようとするガウスの工夫ですが，ガウスはこのようなアイデアをオイラーに学んだのであろうと思います．オイラーは実変化量xを視覚化するために平面上に一本の直線を引き，その上の一点Aを任意に固定し，xの取る数値と，その数値に等しい長さの線分を始点Aから測定して切り取って対応させました．複素数x+yiには二つの変化量x, yが現れますから，オイラーのアイデアに基づいてこれを視覚化するには二本の直線（実軸と虚軸）が必要になります．オイラーの影響がガウスに強く及ぼされているのは明瞭ですが，ガウス自身はそんなことを明言しているわけではありません．
　上記の第二番目の定理によれば，ガウス平面上にひとつの長方形が描かれて，任意のガウス整数はmを法としてその長方形の中にただひとつの剰余をもつことになります．そこで，この長方形内に配置される全部でp個のガウス整数を，法mに関する絶対最小剰余と呼ぶのが相応しいと思います．この長方形は原点O=(0, 0), x軸上の点(p/λ-1, 0), y軸上の点(0, λ-1)，それにもうひとつの点（p/λ-1, λ-1）を結んで描かれます．
　ガウス平面上に絶対最小剰余を配置する仕方はひと通りに限定されるわけではなく，上記の第一番目の定理が教えるように，実軸上にp個の数値に対応する点を0, 1, 2, 3, ..., p-1を配列してもよく，-p/2と p/2の間にはさまれるp個の数値を取り，それらに対応する点を採用することもできます．

ガウス整数m=a+biは奇数とし，しかも混合数，すなわちbが0ではない場合，プライマリーと呼ばれるために満たされるべき条件は既述の通りです．たとえば，複素素数-1+2i, -1-2i, +3+2i, +3-2i, +1+4i, +1-4i, ... はどれもプライマリーです．bが0の場合，mは有理整数になり，しかも通常の意味で奇数です．有理整数を有理整数域で考える場合，aが正ならばa自身がプライマリーになり，aが負なら-aがプライマリーになるのでした．では，aをガウス整数域の中で観察するとき，プライマリーでありうるためにはaはどのような形でなければならないでしょうか．
　状勢は混合数の場合と同じで，新たな問題は生じません．すなわち，0を「偶数の2倍」と見て，奇の有理整数aがプライマリーであるための条件は，a-1が偶数の2倍であること，言い換えるとaの形状が4n+1型であることです．これは合同式
　　a≡1(mod.2+2i)
からも導かれます．実際，この合同式はa-1=(2+2i)(c+di)という形の等式と同等ですが，これより，a-1=2c-2d=2(c-d), 0=2c+2d=2(c+d)となります．よってd=-cとなり，aはa=1+4cという形になることがわかります．有理素数3, 7, 11, 19, ...を例に取ると，これらはこのままではどれもプライマリーではありませんが，負符合をつけて-3, -7, -11, -19, ... という数を作ると，今度はどれもプライマリーになります．こんなふうですので，同じ有理整数も有理整数域とガウス整数域のどちらに配置するのかによって，プライマリーの概念は異なります．
　簡単な注意事項をもう少し附言すると，m=a+biはプライマリーとすると，その共役数m*=a-biもまたプライマリーです．半偶数と偶数に対してはプライマリーの概念は考えません．すなわち，1+iの四つの随伴素数1+i, 1-i, -1+i, -1-i のうち，どれかひとつをプライマリーとして選定することはしません．ガウスが言うには，可能なことは可能でも，そんなことをしても何にもならないとのことです．相互法則の発見という大きな目標のためには意味をもたないということでしょう．
　さて，有理整数域では素因数分解の一意性が成立することはよく知られていますが（はじめて証明したのはガウスです），これによれば，有理整数mは
　　m=±a^α･b^β･c^γ...
という形に表示されます．ここで，a, b, c, ...は「正の」有理素数，α, β, γ, ...は正の有理整数です．右辺の二重符合「±」は，mの正負に応じて「+」または「-」を採用します．ガウスはこの定理をガウス整数にも及ぼして，素因子分解の可能性と一意性はそのまま成立することを示しました．すなわち，任意のガウス整数Mは，
　　M=i^μ･A^α･B^β･C^γ...
という形にただ一通りの仕方で表示されるとおいうのです．ここで，A, B, C, ... は相異なる複素素数ですが，さらにプライマリーでもあります．iの冪指数μは0, 1, 2, 3のいずれかを表します．素因子分解とその一意性はアリトメチカの基礎で，有理整数域とガウス整数域では成立しますが，もっと一般的な数域を考えると必ずしも成立しません．それはガウスの数論研究を継承したクンマーが直面した難問ですが，クンマーを「イデアル」の概念を発見することによりこの難局を乗り越えました．19世紀の整数論におけるもっとも劇的な情景です．

平方剰余相互法則の場合、ルジャンドルの立場では相互法則の対象は「異なる二つの正の奇素数」でした。「正の数」に限定されているところがポイントで、オイラー、ラグランジュの素数の形状理論を完成の域に高めようとするルジャンドルの数学的意図からすれば、当然の前提です。正の数というのは有理整数域におけるプライマリーのことにほかなりませんから、ルジャンドルの相互法則はプライマリーを対象とするものであり、負の数は問題になりません。これに対し、ガウスの場合にはそうではなく、正の数も負の数も対等の立場をもって登場します。正の素数の全体を4n+1型と4n+3型に二分し、4n+1型の素数は4n+3型の素数には負の符合をつけて、
　-7, -11, +13, +17, -19, -23, +29, -31, +37, +41, -43, -47, +53, -59, ...
というふうに配列し、「これらの数はどれも、その平方剰余である素数の平方剰余であり、その平方非剰余である素数の平方非剰余である（剰余を考えるとき、法はつねに正に取ります）」と主張するのが、ガウスのいう「平方剰余の理論における基本定理」なのでした。広く平方剰余の理論を考えようとするガウスの立場から見れば、正の数に限定しないのは当然のことですが、第一補充法則と組み合わせることにより、ルジャンドルとガウスの二通りの相互法則は、論理的に見て同等であることがわかります。
　それなら四次剰余の理論ではどのようになるのでしょうか。ガウスの立場から見ればあらゆるガウス素数を対象にするのが当然で、単数については第一補充法則を立て、半偶数と偶数については第二補充法則を立て、他の一般のガウス素数については四つの随伴数をひとまず区別せずに観察するというふうに進めていくのが本来の姿なのではないかと思います。ところが実際にはガウスはこの立場を放棄して、プライマリーと呼ばれる特定の随伴数を選定し、プライマリー同士の間に認められる法則を見つけることに成功しました。平方剰余の理論と同じ視点を貫くのは無理だったためと思われますが、こんなところにルジャンドルの影響がひそかに及んでいるように感じます。

単数の姿が判明すると，ある与えられた複素数m=a+bi に対し，それに随伴する複素数が目に映じます．それはmと単数との積のことで，次に挙げる四つです．
　a+bi　（これはm自身です）
-b+ai　（これはmとiの積です）
　-a-bi　（これはmと-1との積です）
　b-ai　（これはmと-iとの積です）
有理整数域には二つの単数+1と-1がありますから，有理整数aに対し，aに随伴する数は+aと-aの二つです．一方は正，他方は負ですが，正の随伴数には負の随伴数には見られない著しい特徴があります。それは、二つの有理整数a, bに対し、それらの正の随伴数をそれぞれa*, b*で表すと、積a*b*は数abの正の随伴数になるという事実です。そこで正の随伴数の方をプライマリーと名づけると，「プライマリーとプライマリーの積はプライマリー」と標語風に言い表わすことができます。
　プライマリーという概念をガウス整数に移すとどのようになるでしょうか。あるガウス整数mに対し、四個のガウス整数がmに随伴しますが、それらの中にプライマリーの名に相応しいものがあるかないかということが問題になりますが、ガウスは「プライマリーとプライマリーの積はプライマリーになる」という標語に着目し、これを基本原理にして、この問題に応えようとしました。ひとことで言えば、「奇数に限定するならプライマリーは存在する」というのですが、これは二通りの仕方で可能です。すなわち，
　I　二つの奇数a+bi, aﾕ+bﾕiにおいて，a, aﾕは4n+1型，b, bﾕは偶数とすると，簡単な計算により確かめられるように、これらの積は同じ性質をもちます。そうして，これもまた簡単にわかることですが、あるガウス奇数に随伴する四個の数の間には，実部が≡1、虚部が≡0(mod.4)となるものが必ず見つかります．
　II　奇数a+biは，a-1とbが同時に偶数の2倍であるか，あるいは同時に奇数の2倍であるという性質をもつとします．このような数と，もうひとつの同じ形の数との積はやはり同じ性質をもちます．そうして，数a+biに随伴する四個の奇数の中に，このような形の数がただひとつだけ見つかります．これらのことはいずれも簡単な計算で確認されます．
　これらのうち，ガウスは後者を選択し，「II」で表明されている性質を満たす奇数を指してプライマリーと名づけています．これを言い換えると，奇数a+biがプライマリーというのは，a+biが法2+2iに関して正単数1と合同になるということになります．実際，合同式
　　a+bi≡1(mod.2+2i)
が成立するとすると，
　　a+bi-1=(2+2i)(c+di)
という形の等式が成立します．これより，
　　a-1=2c-2d=2(c-d), b=2c+2d=2(c+d)．
c-dとc+dは同時に偶数になるか，あるいは同時に奇数になるかのいずれかですから，a-1とbが同時に偶数の2倍であるか，あるいは同時に奇数の2倍であるかのいずれかであり，a+biはプライマリーであることになります．
　プライマリーの概念は四次剰余相互法則を発見するために不可欠です．

前回の定理によれば，整混合虚数a+bi（整混合虚数というのは，実数ではないガウス整数，すなわち実部bが0ではないガウス整数のことです）が素数であるための条件は，そのノルムp=a^2+b^2が素数になることです．a+biが素数である以上，aとbは互いに素ですし，特にともに偶数であることは許されません．ともに奇数とすればpは偶数になってしまいますから，これもまた許されません．それで一方は偶数，他方は奇数であることになりますが，偶数の平方は≡0(mod.4)，奇数の平方は≡1(mod.4)となりますから，一般に互いに素な二つの平方数の和は，それが素数である限り必ず4n+1型になることがわかります．そこで，「ノルムが4n+1型の素数になるガウス整数」を考えると，これは確かにガウス素数です．
　混合虚数のほかに通常の有理整数を拡大された数域，すなわちガウス整数域の中に配置すると，たとえ有理整数域内の素数であっても，必ずしも素数であり続けることはできません．偶素数2については既述の通りで，有理整数域では素数ですが，ガウス整数域では素因子分解が進行します．次にpは有理奇素数として，まず4n+1型とすると，フェルマが発見した直角三角形の基本定理により，pは二つの平方数の和としてp=a^2+b^2と表示されます．すると，
　　p=(a+bi)(a-bi)
と素因子分解が進行しますから，pはガウス整数域ではもはや素数ではありません．
たとえば， 5=(1+2i)(1-2i), 13=(3+2i)(3-2i), 17=(1+4i)(1-4i)というふうに分解されます．
これに対し，pは4n+3という形とすると，ガウス数域においても依然として素数のままであり続けます．実際，pが素数ではないとすれば，p=(a+bi)(α+βi)という形に表示されますが，両辺の複素共役数を作るとp=(a-bi)(α-βi)ともなります．よって，
　　p^2=(a^2+b^2)(α^2+β^2)．
ところが，有理整数域では素因子分解の一意性が成立しますから，p^2の素因子分解はただ一通りの仕方でのみ可能ですが，すでにqoqと分解されていますし，これ以外の分解はありえません．よって，必然的にp=a^2+b^2=α^2+β^2でなければならないことになりますが，二つの平方数の和が4n+3という形になることはありえませんから，これは不条理です．これでpはガウス整数域でも素数のままであることおがわかりました．
　さて，有理整数には偶数と奇数の区別がありますが，ガウス整数についても類似の区別が可能です．有理偶素数2のガウス数域での素因子，すなわち1+iを基準にしてこの区別を定めるのですが，状勢はいくぶん複雑になって次のように区分けされます．
(1)　1+iで割り切れないもの．数a+biで，数a, bのうち一方は奇数，他方は偶数であるものがこれに該当します．
(2)　1+iで割り切れるが，2では割り切れないもの．これは，二つの数a, bがともに奇数の場合である．
(3)　あるいは，2で割り切れるもの．これは，数a+bi，二つの数a, bがともに偶数であるものが該当します．
ガウスはこれらの数をそれぞれ，奇数，半偶数，偶数と呼んでいます．

有理整数域には二つの単数+1と-1が存在しますが，ガウス整数域では四つの単数+1, -1, +i, -iが見つかりました．ガウスはこれらをそれぞれ「正の単数」「負の単数」「正の虚単数」「負の虚単数」と呼んでいます．単数の姿が確定すれば，「素数」の概念が定まります．すなわち，ガウス整数m=a+biが素数というのは，「m自身と単数以外のいかなるガウス整数でも割り切れない」ことを意味します．素数でない数は合成数と呼ばれます．素数であるガウス整数を簡単にガウス素数と呼ぶこともあります．ついでにもう少し言葉を用意しておくと，ガウスはmに対して有理整数
　　p=a^2+b^2
を作り，これをmのノルムと呼んでいます．二つのガウス整数m=a+bi, m'=a'+b'iの積のノルムはmのノルムとm'のノルムの積になります．これは簡単な計算で確かめられます．実際，
　　mm'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i
ですから，
　mm'のノルム=(aa'-bb')^2+(ab'+a'b)^2
　　　　　　　=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)
　　　　　　　=(mのノルム)(m'のノルム)
となります．ノルムの言葉を用いれば，単数というのは「ノルムが1になる数」のことにほかなりません．ガウス整数mが素数であっても，そのノルムは必ずしも有理素数とは限りませんが，他方，合成数であるガウス整数のノルムは必ず有理合成数になりますから，ガウス整数mのノルムが有理素数であれば，mは必然的にガウス素数です．このあたりの消息をきっちり書くと，次に挙げる定理が手に入ります．ガウス整数が素数であるか否かは，そのノルムが有理整数域において素数であるか否かに応じて判定されるというのです．

定理
《任意の整混合虚数a+biは，そのノルムが実素数であるか，あるいは合成数であるのに応じて，複素素数であるか，あるいは合成数である．》

　さて，単数の姿が判明すると，ある与えられた複素数m=a+bi に対し，それに随伴する複素数が目に映じます．それはmと単数との積のことで，次に挙げる四つです．
　a+bi　（これはm自身です）
　-b+ai　（これはmとiの積です）
　-a-bi　（これはmと-1との積です）
　b-ai　（これはmと-iとの積です）
有理整数域には二つの単数+1と-1がありますから，有理整数aに対し，aに随伴する数は+aと-aの二つで，一方は正，他方は負です．
　随伴数に似ているものに共役数というものがあります．ガウス整数m=a+biの共役数というのは，m*=a-biという形の数のことで，mの随伴数ではありませんが，mと同一のノルムをもっています．
　ガウスは有理整数とのアナロジーをたどりながらガウス整数域のアリトメチカを構成しようとしているのですが，単数に続いて偶数と奇数の区別が目に留まります．有理整数は偶数と奇数に分れます．偶数というのは2で割り切れる数のことをいうのですが，2という数をガウス整数域の中で観察すると，
　　2=(1+i)(1-i)
と因子分解が進行します．あるいは，1-i=(-i)(1+i)ですから，
　　2=(-i)(1+i)^2
という形の分解も可能です．すなわち，2は有理整数域では素数ですが，ガウス整数域ではもはや素数ではないことになります．このあたりが，数域の拡大に伴って発生する新しい現象です．
　上記のような2の分解は実は「素因子分解」なのですが，これを確認するには1+iが素数であることを示さなければなりません．ところが，1+iのノルムは2で，これは有理整数域では素数ですから，1+iはたしかにガウス素数です．
　こんなふうに考察を進めていくと，四種類のガウス素数が見つかります．
　1.　四個の単数1, +i, -1, -i．
　2.　数1+i．およびその三つの随伴数-1+i, -1-i, 1-i．
　3.　4n+3型の実正素数．およびその三つの随伴数．
　4.　ノルムが4n+1型の素数になる複素数．
「1」と「2」については問題ありませんが，「3」と「4」で言及されている素数についてはもう少し説明を要します．

ガウスが数論に導入した新たな複素数は、aとbは通常の実数の範囲での有理整数として、
　　　a+bi,　i=√-1
という形のもので、ガウスはこれを単に「複素整数」と呼んでいますが、今日ではガウスの名を冠して「ガウス整数」と呼ぶ習慣が定着しています。便宜上、ここでもガウス整数という呼称を採用することにします。ガウス整数m=a+biに対し、aはmの実部、bはmの虚部と呼ばれます。b=0の場合にはmは通常の実有理整数になりますから、ガウス整数の全体は実有理整数の全体を大きく包んでいます。これが、ガウスのいう「数域の拡大」ということにほかなりません。ガウス整数の全体の作る集合を表すには、今日ではよくZ[i]という記号が用いられますが、ガウスには特別の記号はありません。必要なかったのでしょう。
　まずはじめに問題になるのはガウス整数を対象とするアリトメチカです。実有理整数の間で行われる演算をガウス整数の範囲まで押し広げたいのですが、たとえば「加法」と「減法」に問題がないことはすぐにわかります。それはどのような意味かというと、二つのガウス整数を加えると、その和はやはりガウス整数であること、また、一方から他方を引くと、その差はやはりガウス整数であるということです。「乗法」はやや複雑になりますが、特に問題はなく、二つのガウス整数を乗じると、その積はやはりガウス整数になります。「除法」、すなわち割り算はむずかしく、あるガウス整数を他のガウス整数（ただし、0ではないもの）で割ると、その商を作ることはできますが、必ずしもガウス整数にはなりません。もっとも、これは実有理整数の範囲でも同様でした。
　有理整数には「素数」があり、「1と自分自身のほかに約数をもたない数」と規定されますが、これをガウス整数に移すと、有理整数における「1」に相当するガウス整数とはどのようなものかという点がまず問題になります。これは「単数」と呼ばれる数なのですが、有理整数の範囲では二つの単数が存在します。すなわち、それは「1」と「-1」です。平方剰余相互法則では-1は特別の扱いを受け、第一補充法則の主役を演じますが、これはつまり単数が特別視されたのでした。では、ガウス整数の単数とはどのようなものかというと、「逆数もまたガウス整数になる数」のことです。ガウス整数m=a+biの逆数は
　　1/m=1/(a+bi)=a/(a^2+b^2)-b/(a^2+b^2)･i
となりますから、これがガウス整数になるためには、
　　a^2+b^2=1
とならなければなりません。これより、
　　a=±1, b=o
または
　　a=0, b=±1
となります。すなわち、ガウス整数の単数は、
　+1, -1, +i, -i
の四つになることがわかります。

四次剰余の理論を展開するガウスの第二論文を語ろうとして，第2回まで進んだところでひと休みのような恰好になり，この間，「数学者の群像」という題目を新たに立ててオイラーとラグランジュの生涯を簡単に振り返ったり，数学史京都会議の模様を伝えたりしてきましたが，このあたりで再度，四次剰余の理論に手をもどしたいと思います．
　今回は「ガウスの遺産」の第102回目になりますが，四次剰余の理論についてもすでに多くのことを語ってきました．ガウスの第一論文では四次剰余の相互法則の二つの補充法則を紹介し，続いて第二論文の書き出しのあたりを概観しました．ここまでのガウスの考察は実数の範囲に留まっていて，通常の有理整数の領域で相互法則をみいだそうとする試みが続きました．与えられた法pで割り切れない数の全体を四つのクラスに分けるところは平方剰余の理論には見られなかった現象ですが，そのようになったのは，四次非剰余の全体が三つのクラスに分けられたためでした．相互法則というのは，単にある数が他の数の四次剰余であるか否かを問うのではなく，四次の合同式の舞台の上で，異なる二つの数の間に認められる何かしら相互法則の名に値する法則が存在することを信じ，それを見つけようとするところに本来の面目があり，ガウスははっきりとその方向に向けて思索を積み重ねました．そのような法則の存在を，法則そのものが見つかるよりも前にどうして確信することができたのか，考えれば考えるほど不思議ですが，ともあれガウスは数の範囲を複素数の世界まで拡大しなければならないという考えを早くから抱いていました．
　四次剰余という言葉はすでにD.A.にも出てきますから，四次剰余相互法則の存在を確信した時期はD.A.の時代にさかのぼり，すなわち平方剰余相互法則を発見したのとほぼ同時に四次剰余相互法則，三次剰余相互法則，ひいては高次冪剰余相互法則もが心に芽生えたと見てよいのではないかと思います．これに対し，数域の拡大というアイデアの方は少し遅れます．第一論文の書き出しの言葉によれば，1805年に三次剰余と四次剰余の理論の究明を始めるとすぐに，「高等的アリトメチカの領域をいわば無限に拡大することが必然的に要請されるということを認識するにいたった」ということですから，1805年という時期が重い意味合いを帯びてくることになります．
　数域を拡大せずに有理整数の範囲に留まってもそれなりに法則は見つかりますし，その模様を報告したのが第一論文の全体と第二論文の途中までの記録です．ですが，四次剰余の相互法則の本体はどうしてもみつからず，そのためにガウスはいよいよガウス整数を導入し，第二論文の第31条から「複素数の整数論」の建設を始めます．それに先立って，第30条では究明の一般方針が宣言されています。「一般理論の自然な泉はアリトメチカの領域を拡大して，その中に探し求めなければならないという確信」という言葉が，読み者の心に響きます．

《こんなふうにして，帰納的考察により，特定の諸定理から成る豊饒な収穫がもたらされる．それらは数2に対する定理に代るものである．だが，われわれは共同のきづなと厳密な証明があればよいと思う．というのは，われわれが第一論文で数2を処理した方法は，これ以上，用いることを許されないからである．特別の場合の証明を得るのに使用することのできる種々の方法，特に集まりA, Cへの平方剰余の分配に関連する方法がないわけではないが，われわれはそれらに関わらない．というのは，われわれはすべての場合を包括する一般理論を望まなければならないからである．われわれはすでに1805年にこのテーマについて熟考を開始したが，それからすぐに，前に第1章で示唆したように，一般理論の自然な泉はアリトメチカの領域を拡大して，その中に探し求めなければならないという確信に到達した．
　詳しく言うと，これまでに取り扱われてきた諸問題では，高等的アリトメチカは実整数にのみ関わっていたが，四次剰余に関する諸定理はアリトメチカの領域を虚数にまで広げて，制限なしに，a+biという形の数がアリトメチカの対象となるようにしてはじめて，その完全な単純さと自然な美しさをもって姿を現すのである．ここで，通常のように，iは虚量√-1を表し，a, bは-∞と+∞の間のあらゆる不定実整数を表す．われわれはこのような数を複素整数と呼ぶ．複素数ではない実数はとく別の種類の複素数とみなされる．この論文には，複素量に関する基本事項とともに，四次剰余の理論のはじまりの部分が含まれている．完全な展開は，この課題に対する引き続く研究の中で行われる．》

最後の「引き続く研究」という箇所に，次のような脚註が附されています．

《事のついでに，ここではせめて，このような領域の拡張は四次剰余の理論に特にかなっていることだけは注意しておきたいと思う．三次剰余の理論は，同様にして，a+bhという形の数の考察に基づいている．ここで，hは方程式h^3-1≡0の虚根，たとえばh=-1/2+(1/2)√3･iである．同様に，高次冪剰余の理論は他の虚量の導入を必要とする．》

高次冪剰余の理論のために必要な虚量というのは数1の冪乗根のことで，ガウスがここで示唆しているのは，今日のいわゆる円分体の整数論です。ガウスの数論の継承者のひとり，クンマーがこれを全面的に展開しました．