日々のつれづれ

今度は高木貞治『解析概論』から関数の定義を採集してみたいと思います．この本の第1章「基本的な概念」の第8節は「函数」（この漢字が使われています）と題されていて，冒頭に関数の定義が登場します．

《区間[a, b]が与えられたとき，
a≦x≦b
なる数はこの区間に属するという．もし我々がxにこの区間に属する任意の数値を与えようと欲するならば，xをこの区間における変数という．そのときxはこの区間内において自由に変動しうるのである．》
《今この区間内におけるxの個々の数値に対応して，それぞれ変数yの数値を確定すべき或る一つの基準が与えられたと仮定するとき，yをxの函数といい，特定の函数を示すために特定の文字を用いて
y=f(x), y=F(x)
などと書く．函数yの値はxの値に伴って変動する．よってxを独立変数，yを従属変数という．》

　この定義は相当に広く流布しているのではないかと思いますが，ここには「変数」という言葉が現れていて，直観的になじみやすい感じがあります．反すうは「自由に変動する」と言われていることでもありますし，変数には何かしら変動する力が内在していて，自律的に変化するかのような印象を受けますが，上記の定義の文言をよく観察すると，根幹を作っているのは「xに対してyが対応させる基準が与えられる」という一事のみであり，他のあれこれの説明は枝葉末節というか，削除してもさしつかえません．文字xは区間[a, b]に所属する数を表す記号にすぎませんが，もし「xにこの区間に属する任意の数値を与えようと欲するならば」，そのときxは変数と呼ばれることになります．ですが，これは文字xの自由変化を単に心に思い描くというだけのことですし，変化すると思えば変化するようでもありますが，定義を見る限り，自律的に変化する力がxに備わっていると読み取ることはできません．すなわち，「変数は実際には変化しない」のです．
　オイラーの無限解析には変化量と定量という概念があり，『無限解析序説』の巻1では，関数は「変化量と定量を用いて組み立てられた解析的な式」として規定されました．オイラーの変化量は力学的な観念から抽出された概念で，本当に変化する量が想定されていたと思われますが，関数概念はここから出発し，曲折を経て『解析概論』の定義にたどりつきました．『解析概論』に見られる「変数」の一語の背後には，変化量という，オイラーのころからの観念が控えています．このような歴史的経緯をきっぱりと捨て去れば，『シュヴァルツ解析学』に見られる関数概念がおのずと手に入ります．オイラーと高木貞治やシュヴァルツの間に分岐点があり，その時点を境にして変数は変化することをやめてしまいました．