Entries

新数学人集団(SSS)の時代 ノート61 数学的実体とは

数学の姿が大きな変容を経験した時期は第一次世界大戦後のことで、1930年になって休息に抽象化が進行しましたが、この現象を目の当りにして、日本の数学者たちの間にはさまざまな葛藤が生れたのではないかと思います。高木先生は「過渡期の数学」ということを語って、変化の諸相をありのままに観察しようとしていたように思いますが、数学の実質はあくまでもクラシックにあり、抽象は衣裳のようなものだという考え方も広く行われていたのではないかという推測も可能です。谷山さんの世代になると数学はもうすっかり抽象の時代に入っていたのですから、もはやクラシックなどは顧みないという姿勢になっても不思議ではありません。
 ところが谷山さんはそうではなく、クラシックを無視せずに、抽象との内的調和を探究するという構えをとりました。このあたりが谷山さんならではのことで、SSSの他のメンバーにも影響を及ぼしたことと思います。数学とどのような学問なのかということを考えていたのですから、ブルバキで言えばヴェイユと同じような位置をSSSにおいて占めていたのでした。
 谷山さんはファイバーバンドルを例にとって自説を敷衍していきました。以下、多少の語句を補いながら(括弧内に入れました)谷山さんの言葉の紹介を続けます。

・ではfibre bundle(ファイバーバンドル、ファイバー束)を考えましょう。・・・多変数函数論のCousin(クザン)の第二問題が、本質的にはprojective line bundle(射影的直線束)の分類の問題であることは、此の間の一松(信)さんの話にあった通りです。此れは、公理主義の一つの勝利とも見られますが、然し此の場合にも、公理主義の果した主要な役割は、整理することにあったので、例えば、岡(潔)さんの方法はfaisceau(層)の概念の一つの基礎になったものですが、岡さんがfibre bundleとの類推からその様な方法に到達したのではない。此の時、2つの考え方が可能である。「fibre bundleなる一つの概念が多くの物の基礎にあるのであるが、それを体系的に発展させるのは、単なる抽象論では駄目で、それの表れている具体的な事実から、或る意味で帰納的に進んで行かなければならない。」「或る部門に於ける重要な事実は、fibre bundleなる概念によりうまく表現され、又それにより他の部門の同様な事実との関連が明らかになり、此の抽象概念を使うことにより、その具体的な問題を、見透しよく進めることが出来る」――何を目的とし、何を手段として考えるかの相違ですが、両方とも正しいとは言い難い様な気がします。

 岡潔先生の不定域イデアルの理論は層の理論に転化して、現代数学を支える有力な基礎概念のひとつになりました。谷山さんはそのことを念頭においてファイバーバンドルを語り、二つの考え方を述べました。どちらの考え方ももっともらしい印象があり、ほかには考えようがないようにも思えるのですが、「両方とも正しいとは言い難い様な気がします」と谷山さんは言うのです。
 具体と抽象のその奥に「数学的実体」が存在するというのが谷山さんの所見です。

・具体的なものと抽象的なものとの交錯するその奥に、数学に於ける実体がある。大体、実体なるものは固定したものではなくて、時と共に移り変って行くものなので、例えば昔、計算の手段として考えられた複素数が、現在では実体と考えることに誰も異議はないでしょう。そのとき、以前にはそれが実体であることがわからなかったのだと考えるよりも、18世紀の数学では実体でなかったものが、19世紀には実体となったと考える方が自然でしょう。大体、数学的実体なるものは存在しないと考えた方が良いか、さもなければ、実体であるか否かの判定法は、それから導かれる定理によるので、此れはいつか君の云っていた・・・

 数学的実体に寄せる実在感が語られるのではないかという予感もありましたが、そういうことではないようで、「実体なるものは固定したものではなく、時と共に移り変って行くもの」だと指摘され、例として複素数が挙げられました。数学的実体なるものは存在しないと考えたほうがよいという判断もありうるかのようですし、実体が存在するとしても、その判定はそこから導かれる定理によるという考え方も語られました。
 数学には実体なるものが存在して、その究明をめざすのが数学という学問だという考え方を採用すると、どことなく物理や化学のような自然科学の一種のように見えないでもありません。ところが谷山さんは突然転調し、実体などというものはどうでもよいと言葉を続けていきました。

スポンサーサイト

新数学人集団(SSS)の時代 ノート60 クラシックと抽象

数学においてクラシックと抽象を対比させ、クラシックに数学の実質を割り振り、抽象には数学ん実質を定式化して解決するための方法を割り当てるというのは一つの考え方で、そのように理解する人も多かったのではないかと思います。クラシックの全盛時代に数学を学び、抽象に向けて大きく変化していく姿を目の当りにしたとき、クラシックと抽象に折り合いをつけようとするのはそれはそれで自然な成り行きです。高木先生は「過渡期の数学」ということを指摘して盛んに発言していましたが、抽象を嫌う人たちは確かにいました。
 これに対し、SSSの世代の人たちにとっては数学はすでに抽象になっていたのですから、クラシックと抽象という二つの数学に挟まれているという感覚はもう失われていたのではないかと思います。遠山啓先生ははじめ東大の数学科に学びましたが、坂井英太郎先生の微積分の講義に失望して中退しています。なんでも坂井先生は曲線の概形を描くことばかりをやっていたとのことで、いかにもクラシックの微積分という感じがします。遠山先生はさっぱり興味がもてず、自主的に退学してしまうのですが、その遠山先生が昭和27年(1952年)に刊行したのが『無限と連続』という著作でした。副題は「現代数学の展望」。5月に刊行されて、翌6月23日にはSSSの創設メンバーたちが集まってこの本の合評会が行われました。
 クラシックな数学に失望した遠山先生が抽象数学を語る著作を出し、それに感激した人たちがSSSを作りました。それならクラシックは捨てられて顧みられないのかというとそうでもなく、たとえば倉田先生はヒルベルトの現代的意義ということを語りました。谷山さんもまたクラシックと抽象にをめぐって考えています。
杉浦先生への手紙で、谷山さんは「数学的実体」ということを語りました。以下、摘記します。

・数学的実体と云うものが存在し得るとすれば、それは公理系により定義される抽象的な概念でもなく、又具体的に存在する、数、空間、物理現象、乃至それ等の関係、運動法則と云うものでもない。常識的な様ですが、具体的な多くの異ったものが、一つの抽象的な概念の下に統一され、又多くの抽象的な概念が一つの具体的なものの中で関連する。此の二重の関係が、その本質を究明する鍵ではないでしょうか。

 一個の抽象概念には無数の具象的個物が詰め込まれていて、一個の具象的個物には無償の抽象概念が内在しているというほどの考え方のように思われます。

Extra

プロフィール

オイラー研究所の所長です

Author:オイラー研究所の所長です
FC2ブログへようこそ!
オイラーを研究して40年。所員募集中。
オイラー生誕300年を期して熱くオイラーを語り合いましょう。
西暦2011年は岡潔先生の生誕110年の節目の年です。
西暦2013年は岡潔先生のエッセイ集『春宵十話』が刊行されてから50年目の節目です。

最近の記事

FC2カウンター

月別アーカイブ

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる