つれづれなるままに

　対数というものを考えるためには、そもそものはじめに、何らかの数aをあらかじめ指定して、固定しておかなければなりません。それは「対数の底」と呼ばれることになる実数ですが、何かある数xが与えられたとき、xの対数とは何かと問われたなら、「aの冪a^yがxに等しくなるような冪指数y」のことと答えるのがオイラーの流儀です。このようなyのことを「底aに関するxの対数」と言いますが、特にa=10と取るときの対数のことを常用対数と呼び、a=eと取るときの対数のことを自然対数と呼ぶのが通例になっています。自然対数は双曲線対数と呼ばれることもあります。これから先は、特に断らない限りつねに自然対数を考えることにして、これまでもそうしてきたように、xの対数yを

　　　y=log x

と表示することにします。さて、xの対数yはただひとつしかないように見えますが、これを否定して、「各々の数xに対し、その対数は無数に存在する」と主張したのがオイラーの新機軸です。オイラーはこう言っています。

《ある提示された数の対数は、ある任意に取り上げられた数の、提示された数に等しくなる冪の冪指数であると言うとき、この観念の正しさには欠けているものは何もないように見える。もとよりこれは完全に正しい。だが、この観念には一般に、この観念に適合しない状勢が伴っている。それは、ほとんど気づくことはないが、各々の数に対応する対数はただひとつしかないと、通常は想定されているという事実である。そうして、そのことをほんのわずかでも考えてみれば、対数の理論が困惑させているように見える困難や矛盾が成立するのは、各々の数に対しただひとつの対数しか対応しないと想定する限りにおいてであることがわかる。そこで私は、これらの困難と矛盾のすべてを消失させるために、与えられた定義そのものに基づいて、各々の数に対して無限に多くの対数が対応すると主張する。》

　ライプニッツとベルヌーイの論争を検討する中で、不可解な矛盾にしばしば逢着しましたが、すべての矛盾は対数がただひとつしか存在しないと思うことに由来するのであり、「対数の無限多価性」を承認すればいっさいの矛盾は解消するというのですから、非常に斬新で、しかも高度の観念性を備えた数学的発見と見なければなりません。オイラーが計算の名人だったとはよく語られますが、その反面、無限級数の収束性などには頓着しなかったなどと言われることもあり、全般にあまり思索的ではないような印象がつきまといます。ですが、対数の本性を粘り強く究明して無限多価性の発見に到達し、大胆に宣言するあたりなど、通説に大きく反し、偉大な数学者に特有の深遠な思索が遍在しているように思います。、

ここまでのところでオイラーはベルヌーイのライプニッツと双方の論拠を紹介し、各々の論拠に対する異議も挙げていきましたが、複雑に入り組んだ思索の果てに到達したのは、「ベルヌーイとライプニッツのどちらが正しいとも言えない」という不可思議な数学的状勢でした。そこでオイラーはまず、「対数の理論を適切に確立し、もはやいかなる矛盾にもさらされることのないようにする」ということを考えて、これを「きわめて重要な一問題」として語りました。相容れない二つの主張の中間になんとかして妥協点をみいだそうとする問題ですが、こんな問題を口にしたそばからすぐに、オイラーはこれを取り下げてしまいます。その理由はなぜかといえば、「双方の側でみいだされる諸矛盾の重さを十分に勘案すると、そのような妥協は全くの不可能事なのだという考えに導かれていく」からであるというのです。そうしてそのうえでなお言葉を続け、

《数学の敵手たちは、そのような妥協案から必ずや、この学問の確実さに敵対する非常に厄介な帰結をさまざまに取り出してくることであろう》

と不思議なことを言い添えています。数学では妥協案をさぐるのはよいことではない。そんなことをすると、そこからたちまちほころびが生じ、「数学の敵手たち」はそこにつけこんで、やっかいな悶着を引き起こしにかかってくりからだ、というほどの意味合いでしょうか。「数学の敵手たち」というのも不思議な言葉で、オイラーの念頭にあった「数学の敵手たち」というのはどのようなタイプの人たちなのか、はっきりとはわかりませんが、無限解析の基礎があいまいだといって批判を加えた人もいますし、数学の悪口をいう人は今日でも絶えません。妥協案を探ったりしたら、数学を批判したくて手ぐすね引いて待ち構えている人たちに、恰好の材料を与えてしまうということであろうと思われますが、妥協案という考えは、そもそも数学には根本的に相応しくありません。オイラーはこう言っています。

《しかし私は、塵ほどの疑念も残らないほど明確に、この理論は堅固に確立されること、それに、上記のあらゆる困難は、その源泉を、ほとんど正しいとは言えない唯一のアイデアから汲んでいることを示したいと思う。したがって、このアイデアを修正しさえすれば、それらの困難や矛盾はことごとくみな、たとえどれほど強力に見えたとしても、たちまち消失してしまう。そうしてそのとき、この対数の理論の全体はみごとに成立し、それまでは解決できそうにないと思われたあらゆる異議に、たやすく応えることができるようになる。》

ベルヌーイとライプニッツの議論に決着がつかないのは、出発点が誤っていたからなのだ、とオイラーは主張します。負数と虚数の対数を考えると不可解なミステリーに次々と遭遇してしまうのは、そのような対数を考えようとする際の大前提に、そもそも間違いがひそんでいたのではないか、とオイラーは言っているように思います。それは、疑う余地はどこにもないとしか思われないごく自然な前提で、

《正の実数の対数がただひとつしか存在しないのと同様に、与えられた負数と虚数に対し、その対数もまたただひとつしか存在しない》

というのです。-1の対数log(-1)などもひとつに決まっているものとして、0になるのか（ベルヌーイ）、虚量になるのか（ライプニッツ）と言い合ってきたのですが、「ひとつに決まる」という点に限れば、どこをどう見ても当たり前のこととしか思えません。

ライプニッツが挙げている第三番目の論拠は式e^yの値の無限級数表示
　
　　e^y=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
　　　　　　+y^4/4!+y^5/5!+・・・

に基づいています。この級数はyがどのような値であってもつねに収束しますから、第一の論拠のときのような弱点は起こりません。第一の論拠は発散級数に基礎を置いていましたので、そこに目をつけられて異議が提出されたのでした。
　さて、y=log xと置くと、x=e^yですから、上記の通り、

　　　x=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
　　　　　　+y^4/4!+y^5/5!+・・・

と表示されます。-1の対数を考えるためにx=-1と置くと、方程式

　　　-1=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
　　　　　　　+y^4/4!+y^5/5!+・・・

が手に入り、この方程式の根yが-1の対数になります。すなわち、y=log(-1)となります。そこで、この無限大の次数をもつ方程式の根を見つけることが問題になりますが、すぐにわかるように、値y=0はこの方程式の根ではありえません。というのは、もしy=0が根になるとすれば、右辺においてy=0を代入すると-1=+1が帰結して矛盾に逢着してしまうからです。これで、-1の対数は0ではないことが明らかになりました。また、yが実数である限り、そのようなyの値に対しても、級数

　　　1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
　　　　　　　+y^4/4!+y^5/5!+・・・

の値は決して負にはなりません。ということは、特に、この級数はいかなる実数yに対しても-1にはならないことになりますから、log(-1)は決して実量ではないこと、すなわち虚量になることがわかります。
　この論拠はどこを見ても完璧で、異議を持ち出す余地は皆無としか思えませんが、オイラーはいくぶん不思議な印象の伴う異議を紹介しています。すなわち、上記の無限級数はいかなる実数yに対しても確かに負にはなりませんが、だからといって式e^yそれ自体が負にならないとは必ずしも言えないのではないか、というのです。この点を具体的に論証するために、オイラーは式1/√(1-x)を例に挙げています。この式は無限級数

　　　1/√(1-x)=1+(1/2)x+((1×3)/(2×4))x^2
　　　　　　+(１×３×５)/(2×4×6))x^3+・・・

で表示されることはよく知られている通りですが、この等式の右辺はxのすべての値に対してつねに正になります。ところが、他方、式1/√(1-x)は正と負の二つの値を同時に表します。言い換えると、この式は二価の解析的表示式、すなわち二価関数なのであり、上記の等式の右辺の級数は、左辺の関数の正の値のみを表示しているのだというのです。そこで、もしこれと同じ状勢が式e^y(この式も解析的表示式です)にも認められるとするならば（すぐにはわからないことですが）、log(-1)が虚量であることを主張するライプニッツの第三の論拠は、根柢が失われてしまうことになってしまいます。
　log(-1)が虚量ならもしlog√-1もまた虚量であることになりますが、そうするとさまざまな困難や矛盾に陥ってしまう、とオイラーは言葉を続けます。なぜなら、もしlog√-1が虚量なら、その二倍もまた虚量になる道理ですが、他方、対数計算の原理に即して計算すると、

　　　2 log√-1=log(√-1)^2=log 1=0

となるからです。

　ここまでの論証のあれこれを回想すると、ベルヌーイの主張はベルヌーイ自身が発見した等式

　　　log√-1=(1/2)π√-1

に矛盾しているところが最大の弱点になっています。ライプニッツの主張はこの点においてベルヌーイの主張にまさりますが、ライプニッツの主張を受け入れると2 log√-1=0となってしまうという難点が伴います。ライプニッツとベルヌーイの主張の一方が間違っているのであれば、もう一方の主張は必然的に正しいことになるはずのように思えるところですが、そうはなりません。どうしたらよいのであろうかと、オイラーはまたしても大きな困惑を隠しません。

　今、yはxの対数として、y=log xと置くと、x=e^yとなります。ここで、eは自然対数（双曲線対数ともいいます）の底、すなわちその対数が1となる数ですが、近似値はe=2.718281828459というふうになります。この等式x=e^yを見ると、eの冪指数y（それはxの対数ですが）が実数である限り、xは決して負にならないことがわかります。したがって、もし等式e^y=-1が成立するのであれば、その場合のyは実数ではありません。y=0としてももちろんだめですから、-1の対数は実数ではないことがわかります。もっと一般に、xは負数-aとすると、等式e^y=-aは決して成立しないか、あるいは、もしそうでなければyの値は虚でしかありえないことになります。これがライプニッツの第二の論拠です。
　ところが、この論拠は、x=e^yにおいて、yが偶数の分母をもつ分数の場合を考えると破綻してしまいます。なぜなら、分母が偶数の分数m/(2n)がxの対数になっているとすると、x=e^(m/(2n))となりますが、右辺の式e^(m/(2n)) はe^(m/n)の平方根、すなわち「自乗するとe^(m/n)になる数」を表すのですから、正と負の二つの値を同時に表しています。したがって、m/(2n)はxの対数であるのと同時に-xの対数でもあることになります。
　さて、xの対数yは有理数ではありませんから、「分子と分母が無限大の分数」と同等である、とオイラーは言っています。ここはややむずかしい論点ですが、円周率πを無限積の形に表示するウォリスの公式などを思い浮かべればよいのではないかと思います。ともあれここをひとまず承認すると、分母と分子に同時に2を乗じることにより、「分母はつねに偶数と見なしてさしつかえない」ことになりますから、yは正数+xの対数であるのと同時に、負数-xの対数でもあることが明らかになります。これが、ライプニッツの第二の論拠に対する異議ですが、平方根の二義性に根拠を求めるとともに、「分子と分母が無限大の分数」において、分母を偶数と見るというところなど、なんとなく無理な感じのする手順にも途中で出会います。

　無限級数
　　　　　-2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
　　　　　　　　　-(1/5)32-(1/6)64-・・・
を見ると、この級数を作っている項はどれもみな負で、しかも初項、第二項、第三項・・・と進んでいくにつれて項の大きさはどこまでも増大していくばかりです。このような級数の総和が0になることがあろうとはとうてい思えませんが、まさしくそこに、log(-1)は0ではないことを主張するライプニッツの第一の論拠がありました。ではありますが、「この事実はこの級数の和が=0ではありえないということの確実な証拠ではない」とオイラーは語っています。
　これを説明するために、オイラーは幾何級数

　　　1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-
　　　　　x^5+x^6-x^7+x^8-・・・

に例を求めています。この級数においてx=-2と置くと、

　　　-1=1+2+4+8+16+32+64+・・・

という等式が与えられ、x=-3と置くと、

　　　-1/2=1+3+9+27+81
　　　　　　　+243+・・・

という等式が与えられます。無限級数には収束と発散の問題があり、x=2と置いて生じる無限級数は発散級数であり、-1に収束する級数ではありえません。x=3と置いた場合についても事情は同様です。このような問題はつねにつきまとうのはその通りですが、その点はひとまず措くことにして、上記の二つの発散級数のように、項のすべてが同符号をもち、しかも諸項は絶え間なく増大するからといって、その級数の和が0にならないとは必ずしも言えないとオイラーは言うのです。
　そんな一例を与えるため、上記の幾何級数においてx=1と置くと、級数

　　　1/2=1-1+1-1+1-1+1-1・・・

が得られます。この級数に、級数

　　　-1/2=1+3+9+27+81
　　　　　　　　+243+・・・

を項ごとに加えると、

　　　0=2+2+10+26+82
　　　　　　　+242+730+・・・

という級数が生じますが、右辺の級数はまさしく、オイラーが挙げようとした例になっています。この級数はともあれ0と等値されています。それなら、級数

　　　-2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
　　　　　　　-(1/5)32-(1/6)64-・・・

が0になることがあっても不思議ではないように思えてきます。これが、ライプニッツの第一の論拠に対してオイラーが紹介した異議です。発散級数に根拠を求めているところに不安を禁じえないものがあるにはありますが、ライプニッツの論拠の説得力を相殺するだけの力は十分に備わっているように思います。

　ベルヌーイの所見を肯定しても否定しても矛盾に逢着するという理解しがたい状勢を目の当たりにして、オイラーは「どうしたらよいのであろうか」と歎息していますが、オイラーはこのような形で問題点を浮き彫りにしただけで、実際にはこの時点ですでに解決の道筋を発見していました。その道筋というのは「対数の無限多価性」を承認することで、負数でも虚数でも、あるひとつの数の対数はひとつしかないという、当然のように見える前提が誤っていて、種々の矛盾はまさしくそこに起因して発生することを、オイラーは正しく認識していました。オイラーは最後にこの発見を開示していきますが、今はベルヌーイとライプニッツの所見を紹介し、検討を加えている段階ですから、とりあえず嘆息してみせたという次第です。
　さて、今度はライプニッツの所見の検討に移る番ですが、ベルヌーイとは裏腹に、ライプニッツは負数と虚数の対数はいずれも虚量であると主張していました。これを言い換えると、等式log(-a)=log a+log(-1)が成立している以上、log(-1)は虚量であると主張されていることになりますが、これを支える第一番目の論拠は、数1+xの対数log(1+x)の無限級数展開に基礎を置いています。それは、

　　　log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4
　　　　　　　+(1/5)x^5-(1/6)x^6+・・・

という形の展開式ですが、しばらくオイラーの記述に追随していくと、まずx=0と置くと、左辺はlog 1、右辺は0になりますから、無限級数展開に基づいてlog 1=0となることが判明します。log(-1)の対数を手に入れるには、x=-2と置かなければなりませんが、これを遂行すると、

　　　log(-1)=-2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
　　　　　　　　　-(1/5)32-(1/6)64-・・・

となります。無限級数には収束と発散の問題がつねにつきまといますし、右辺の級数は収束しない級数、すなわち発散級数になるのですから、少なくとも左辺のlog(-1)という数値にはなりそうにありません。ではありますが、おもしろい論証であることは間違いなく、この無限級数展開式を見るほどに、log(-1)はとうてい0にはなりえないような心情に駆られます

　このような次第ですから、ベルヌーイの主張はどうしても受け入れ難いという判断に傾いていくのですが、オイラーはなお一歩を進めて、驚くべきことを語っています。すなわち、ベルヌーイの主張を退けるのであれば、それで問題は決着するのかというとそうではなく、「ベルヌーイの所見を受け入れるとしても、拒絶するとしても、いずれにしても越え難い困惑と、さまざまな矛盾にさえ陥ってしまう」というのです。この様子をもう少し詳しく観察することにして、まず等式

　　　log(-a)=log(+a)

が成立するとしてみます。あるいは、同じことになりますが、

　　　log(-1)=log(+1)　(この値は=0になります)

という等式が成立すると仮定してみると、等式

　　　log(√-1)=(1/2)log(+1)

により、log(√-1)=0でもあることになりますが、これはベルヌーイが発見した等式

　　　log(√-1)=(1/2)π√-1

にはっきりと反しています。ベルヌーイの発見を堅持する限り、こうして消しがたい矛盾に逢着します。
　今度はベルヌーイの主張は間違っているとして、log(-1)=log(+1)とはならないと仮定すると、左辺はlog(-1)+log(+1)ですから、log(-1)=0ではないことになります。するとlog(-1)=ωと置くとき、ω＝０にはなりませんが、そうするとその二倍２ωもまた=0にはなりません。ところが、他方では

　　２ω=log(-1)^2=log(+1)=0

となるのですから、これもまた矛盾です。
　もう一つの矛盾も生じます。明白な等式

　　　-x=-1×x=x/(-1)

の各辺の対数を取ると、

　　log(-x)=log x+log(-1)=logx-log(-1)

となりますから、log(-1)=-log(-1)となりますが、log(-1)=0ではないと仮定されているのですから、これは矛盾です。a=0ではないのに+a=-aとなるというのはありえないことですから。
　こうしてベルヌーイの所見は正しいとも間違っているとも言えないという、困惑するほかはない事態に陥ります。オイラーはこんなふうな議論を踏まえ、

《この所見は正しいのか、間違っているのか、どうしてもいずれかでなければならないし、ほかに取るべき道があるとも思えない。それなら、このような窮状を脱し、これほどまでに巨大な諸矛盾に抗して真理を救うには、どうしたらよいのであろうか。》

と語り、困惑を隠しません。

　最後に検討しなければならないのは、ベルヌーイの第四の論拠です。オイラーは「この論拠は疑いもなく一番強力である」と言っていますが、その理由はといえば、「この論拠の根柢を支えるいかなる論点も、解析学および対数の理論の非常によく確立された諸原理を覆すことなしには、疑うことはできないからである」というのです。これを具体的に検討すると、まず(-a)^2=(+a)^2となるのは明らかで、これを否定することはできません。両辺の対数を取るとlog(-a)^2=log(+a^2)。これも明白です。次に、対数計算の基本に立ち返るなら、一般にlog p^2=2 log pとなりますから、
　　log(-a)^2=2 log(-a)、log(+a)^2=2 log(+a)。
よって、2 log(-a)=2 log(+a)。よって、log(-a)=log(+a)となることになり、ベルヌーイの主張する等式に到達します。ここまでの論証のどの段階を見ても、疑いをはさむ余地はまったくありません。ベルヌーイの第四番目の論拠はこのようなものでした。
　この論証の誤りを指摘するのはむずかしそうですが、同じ論証により、ベルヌーイ自身も同意できないようなさまざまな奇妙な帰結が導き出されます。前と同じように明々白々な論証を積み重ねていくことにして、まず(a√-1)^4=a^4となります。よって、
　　　log(a√-1)^4=loga^4。
よって、
　　　4 log(a√-1)=4 loga。
よって、
　　　log(a√-1)=loga
となりますが、この等式は、負量の対数のみならず、虚量の対数もまた実量になることを示しています。特にa=1の場合を考えると、log√-1=log =0となります。さらに、等式log(-a)=log(+a)によれば、log(-√-1)=0となることもわかります。
　あるいは、こんなふうな論証も可能です。(((-1+√-3)/2)a)^3=a^3ですから、
　　　log(((-1+√-3)/2)a)^3=log a^3。
よって、
　　　3 log(((-1+√-3)/2)a)=3 log a。
よって、
　　　log(((-1+√-3)/2)a)=log a。
これは、虚量の対数log(((-1+√-3)/2)a)が0であることを示していますが、それと同時に、
　　　log(-1+√-3)/2=0
となることもわかります。
　ここで、ベルヌーイ自身が発見して等式
　　　 (1/2)π=log(√-1)/√-1
を想起すると、
　　　log(√-1)=(1/2)π√-1
となりますから、log(√-1)=0となることはありえません。したがって、上記の論証のどこがどう間違っていると指摘できないとしても、ベルヌーイの発見を考察の根柢に置く限り、受け入れるわけにはいきません。こんな状勢を描写したうえで、オイラーは、

《それゆえ、log(√-1)=0となるというのは正しいとは言えず、たとえ第四の論拠がいかに堅固に見えようとも、その論拠からlog(-1)=0とlog(√-1)=0が導かれる以上、これを信頼してはならないのである》

と言っています。さらに、これもまたオイラーの言葉ですが、ベルヌーイの主張は「対数の全理論を覆さないことには受け入れることのできない事柄である」というほかはありません。

　対数曲線の分枝は一見する限り一本しかありませんが、たとえ目には見えなくとも、実はもう一本の分枝が存在するのだというのがベルヌーイの主張でした。その論拠はここまでのところで申し立てられた異議によりもう崩れたと思われますが、こんなふうに考えてもやはりベルヌーイの論拠は疑わしくなります。ある曲線を表示するxとyの間の方程式が有限方程式、すなわちxの微分やyの微分を含まない方程式であれば、もしその方程式においてyを-yに変えてもそのまま成立するなら、この曲線は切除線xを切り取る軸に関して対称的な形になっています。この事実を指して、x軸（文字xで表される切除線がそこから切り取られる軸、という意味）はこの曲線のダイアメータ（径）になっているというふうに言い表わすこともあります。さて、もしx軸が対数曲線のダイアメータになっているなら、ベルヌーイの言う通り、対数曲線は二本分枝をもつことになりますし、実際に対数曲線の微分方程式y dx=dyはyを-yに変えてもそのまま成立します。ですが、だからといってx軸が対数曲線のダイアメータになっているとは言えません。なぜなら、一般に曲線の微分方程式には元の曲線よりもはるかに多くの曲線が内包されていて、「曲線の微分方程式を考察するだけで曲線の形を判断するのは不可能」（オイラーの言葉）であるからです。たとえば、微分方程式
　　　2y dy=adx　(aは定量)
はたしかに放物線y^2=axが含まれてはいますが、この微分方程式の積分は
　　 y^2=ax±ab
という形になることを思えば納得されるように、他にも無数の放物線が同時に含まれています。同様に、対数曲線の微分方程式ydx=dyには、元の対数曲線のほかに放物線x=log(ny)もまた含まれています。

　これらの論拠に比べると、ベルヌーイの挙げている第三の論拠ははるかに強力です。nが奇数のとき、微分方程式dx=dy/yを積分するとxとyの間の方程式が見つかり、代数的な曲線が得られますが、肝心のn=1の場合は例外と見なければならないところです。nが1でなければ積分方程式は代数的になりますが、n=1の場合は唯一の例外です、そのような例外が起りうることを、オイラーは例を挙げて説明しています。
　今、オイラーにならって関数
　　　y=√ax+(a^3(b+x))^(1/4)
のグラフとして描かれる曲線を考えると、x軸はこの曲線のダイアメータになっているように見えます。なぜなら、冪を作って、この方程式を冪根のない形に変えると、yに関する8次の方程式が得られますが、そこに見られるyの冪次数はすべて偶数だからです。ところが、b=0のときは例外で、この場合、方程式を変形して冪根をもたない形に変えると、
　　　y^4-2axyy-4(a^2)xy+(a^2)(x^2)-(a^3)x=0
という4次方程式になります。ここには項4(a^2)xyが存在し、そのためx軸はもはやこの曲線のダイアメータではなくなってしまうのです。

　ベルヌーイが試みたいろいろな論拠に対し、オイラーは次々と異議を申し立てていきます。ベルヌーイのように、微分と微分が等しいからといってlog(-x)=log(+x)となると主張するのであれば、log 2x=log xもまた成立してしまいます。なぜなら、この等式の左辺の微分は(2 dx/2x)=(dx/x)であり、log xの微分と合致するからです。同じ議論により、もっと一般に、任意の整数nに対して等式log nx=log xもまた成立することになります。ではありますが、「これは、ベルヌーイが自分自身にさえも決して同意することのない帰結である」とオイラーは言っています。たしかにlog nx=log xというのは見た目にも奇妙な等式で、上記の通りの議論がどうであれ、この場合、すべての整数nに対してlog n=0ということになってしまうのですから、これを受け入るのはだれにとっても心情の抵抗が大きすぎるのではないかと思われます。それで、この議論に論拠を求めて得られた等式log(-x)=log(+x)もまた、疑わしくなってきます。
　等式log(-x)=log(+x)を受け入れれば、そこからlog(-1)=log(+1)=0が導かれますが、逆に、もしlog(-1)=0であれば、log(-x)=log(+x) +log(-1)=log xとなります。それで、等式log(-x)=log(+x)が疑わしい以上、log(-1)=0もまた受け入れるわけにはいきません。
　オイラーによる異議の説明が続きます。ベルヌーイは対数曲線の微分方程式y dx=dyの形状に根拠を求め、対数曲線は実は同じ形の二本の分枝をもち、それらは軸の両側に配置されているのだと主張しましたが、この微分方程式はyを-yに変えてもなお成立するから、というのがベルヌーイの論拠でした。ですが、それならyを2yに取り替えても、この微分方程式は依然として成立しますし、もっと一般に、nは整数として、yをnyに変えても事情は同じです。そうすると、ベルヌーイの論拠によれば、対数曲線は実は無数の分枝をもつことになり、しかも、

《切除線xはそれらの分枝の共通の対数であり、yと-yの対数であるばかりか、2yの対数でもあり、一般に、nがどのような数であっても、nyの対数でもあることになる》

ということになります。すなわち、すべての整数nに対し、log ny=log y=xとなりますが、前と同じ理解しがたい状勢に出会ってしまいます。

　等式log(-a)=log(+a)を支えるもうひとつのベルヌーイの論拠があります。今、任意の冪p^nを考えると、対数というものの基本的性質により、p^nの対数はpの対数のn倍になります。すなわち、等式logp^n=n log pが成立します。これはpが正の数の場合のことですが、ここを基点にして推論を押し進め、pとして負数-a(aは正数)を取ると、等式
　　　　log(-a)^n=n log(-a)
が手に入ります。特にn=2とすると、log(-a)^2=2 log(-a)。ところが(-a)^2=a^2ですから、
log(-a)^2= log a^2=2 log a。よって、2 log(-a) =2 log a。よって、log(-a) =log aとなることがわかります。あるいは、こんなふうにしても同じ等式が得られます。すなわち、等式(-a)^2=a^2の両辺の対数を取ると、log (-a)^2=log a^2。よって、2 log(-a) =2 log a。よって、log(-a) =log a、というふうに。このような一連の計算のどの段階もあたりまえのようであり、疑いをはさむ余地はどこにもありそうにありません。これがベルヌーイの第四番目の論拠です。
　ベルヌーイが挙げているこれらの論拠に対し、ライプニッツは次々と異議を唱えました。まず第一の論拠に対し、対数量の微分の規則d log x=dx/xが成立するのは、変化量xが正の量を表すときに限定されるのだとライプニッツは主張しました。すなわち、log(-x)の微分を(-dx)/(-x)=dx/xと等値するところに間違いがあるのだというのですが、このようなやや安直な感じの伴う意見はオイラーの気に入らなかったようでした。オイラーはこう言っています。

「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」より(3)

《この異議はどのような有効な論拠によっても支えられず、きわめて薄弱であるばかりではなく、対数の微分計算を完全にくつがえしていることを認めなければならない。というのは、この計算は、変化量、すなわち一般的に考察される量を対象にして行われるのであるから、もしxに対してどのような量を与えても、それが正の量でも負の量でも、あるいは虚の量であってさえも、d log x=dx/xという計算が一般に正しいとは言えないとすれば、微分計算の正しさはそこに内包されている諸規則の一般性に支えられているのである以上、この規則を使うことはできないことになってしまうからである。》

計算規則の有効範囲を限定するのは数学にとってよいことではないとして、大きな一般性を要請するところには、純粋数学者としてのオイラーの面目がよく現れているように思います。

　もしベルヌーイの主張の通りlog(+a)=log(-a)となるとするなら、log(-1)=log 1=0となることになりますが、そうするとlog√-1=0ともなりそうです。ところが、これはベルヌーイ自身が発見した関係式
　　　log√-1=(π/2)√-1
に反してしまいます。なんだか変な感じがして、不審を禁じえないところです。ベルヌーイはd log(-x)=d log xとなることを論拠のひとつにしてlog x=log(-x)と主張したのですが、この議論も不可解でした。
　オイラーとともに、ベルヌーイの挙げているもうひとつの論拠を検討したいと思います。平面上に対数曲線を描き、その対数曲線の漸近線になるように一本の軸を引きます。軸上に定点Aを指定し、その点を始点に取って軸上で切り取った切除線をx で表し、それに対応する対数曲線上の点にいたる向軸線をyで表すと、定量を適当に調節しておけば、xとyの間にはx=log yという関係が成立します。そこで両辺の微分を作るとdx=dy/y、すなわちy dx=dyという微分方程式が得られますが、関係式d(-y)=-dyに着目すると、この方程式においてyを-yに置き換えても、この方程式は依然として成立することがわかります。ベルヌーイはこの事実を根拠にして、軸をはさんで、対数曲線が描かれている側と反対側にまったく同じ形の曲線が存在すると主張するのです。これらの二本の曲線は軸に関して対称的に配置されていて、平面を軸に沿って折ると、ぴったり重なります。切除線xに対応する一方の曲線の向軸線をyで表せば、他方の曲線の向軸線は-yで表されます。するとxはyの対数であるのと同時に、-yの対数でもあり、その結果、log(-y)=log(+y)が成立することになります。これが、ベルヌーイの挙げている第二の論拠です。
　平面上に対数曲線を描くと、実はもう一本の対数曲線が自動的に描かれてしまい、二本の対数曲線は共通の漸近線をはさんで対称的に配置されているというのがベルヌーイの主張なのですが、にわかには信じがたいことでもあります。ベルヌーイ自身、上記の論証だけでは不安に思ったのか、もうひとつの論拠を言い添えています。それは、nは自然数として、上記の微分方程式dx=dy/yよりももっと一般的な方程式
　　　dx=(dy)/(y^n)
を考えることで、この方程式により描かれる曲線は、もし冪指数nが1よりも大きい奇数なら、つねに二本の分枝をもち、それらは、切除線xが切り取られる軸をはさんで対称的に配置されています。これは、この微分方程式の解は、Cは定量として

　　　x=(1/(1-n))(1/y^(n-1))+C

という形になることからわかります(nが奇数のとき、n-1は偶数になりますから、この解はyを-yに置き換えても成立します)。そこで、この性質はn=1であってもやはり成立するはずだとベルヌーイは主張しました。これが、ベルヌーイの第三の論拠です。
　nが１でなければ解は代数的ですが、n=1のときは特別で、超越的な解が現れます。解を表示する式を書こうとすると何かしら躊躇する気持ちが生れますが、ベルヌーイはそこを押して、この場合にもやはり二本の分枝が存在するのだと主張しました。事の当否はひとまず措いて、凡庸な数学者のなしうるところではなく、偉大な数学者に特有の勇気のある一歩と見なければなりません。

　1745年に刊行されたライプニッツとベルヌーイの『往復書簡集』は今日では実物を見ることのむずかしい稀覯本で、慶應大学の三田メディアセンターが所蔵していますが、おそらく国内にあるのはこの一冊のみではないかと思います。現在、利用しやすいのは、ドイツのヒルデスハイムの出版社オルムスから出ているペーパーバック版の『ライプニッツ数学著作集』です。編纂者はゲルハルト。全7巻。巻1-3が書簡集で、ライプニッツとベルヌーイ兄弟（ヤコブとヨハン）との往復書簡は巻2-3に収録されていて、日付順に番号が振られています。巻4から巻7までの3巻は数学論文集です。一番はじめの1745年版の『往復書簡集』との対比でいうと、『往復書簡集』所収の第190書簡と第193書簡はゲルハルト版の第228書簡(1712年3月16日付)と第231書簡(1712年5月25日)に対応します。これから先は、オイラーの論文から引用するとき以外はゲルハルト版著作集の番号によることにします。
　さて、ベルヌーイは第231書簡において等式log(+a)=log(-a)がつねに成り立つと主張したということですが、オイラーが第一番目に挙げているベルヌーイの論拠は、対数の微分の規則の中から取り出されます。今、 log(-x)の微分を作ると、

　　dlog(-x)=(-dx)/(-x)

となりますが、これはdx/x、すなわちlog xの微分と同じものです。そこでベルヌーイはこの事実を根拠にしてlog(-x)＝log xと主張したのですが、これは明白に誤っていて説得力がありません。なぜなら、二つの変化量xとyに対し、もしそれらの微分が等しいとしても、言い換えると等式dx=dyが成立するとしても、ここから帰結するのは「xとyの差はつねに定量になる」という事実のみであり、xとyがぴったり一致するとは言えないからです。今から見れば当然のことですし、オイラーもまたこれを承知していましたが、ベルヌーイはこの微分計算の基本を認識していなかったことになります。むしろそのことの方にこそ、驚きを覚えます。

　しばらくオイラーの論文[E168]「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」におけるオイラーの言葉に追随し、オイラーが祖述する論争の模様を観察したいと思います。
はじめに紹介されるのはベルヌーイの見解です。負数の対数の存在そのものを疑わなかったところはライプニッツもベルヌーイも同じですが、ただそれはいかなるものかという点をめぐって論争が発生しました。ベルヌーイは正数も負数も同じ値をもつという考えだったとのことで、今、+aは正数とすると、等式log(+a)=log(-a)がつねに成り立つと主張しました。前掲の『往復書簡集』所収の第190番目のライプニッツの書簡の中で、ライプニッツは、+1の-1に対する比、あるいは-1の+1に対する比は虚量であると主張しました。その理由というのは，

　　　+1の-1に対する比=-1の+1に対する比=-1=e^log(-1)

となり、この比の冪指数、すなわちlog(-1)は虚量だから、というのです。この見解がベルヌーイ刺激しました。ベルヌーイは第193書簡において同意見ではないことを伝え、そのうえでなお一歩を踏み込んで、

《負数の対数は単に実であるばかりではなく、同じ数を正に取ったときの対数に等しいと思う》

という意見を表明しました。すなわち、ベルヌーイによれば、等式log(+a)=log(-a)が成立するというのですが、そうすると特にlog(-1)=log(1)=0となることになります。これは虚量ではありません。これだけではまだ言い足りなかったようで、ベルヌーイは次々と経路の異なる論拠を持ち出しました。ライプニッツのベルヌーイの論争がこうして始まりました。

　純粋数学と応用数学の話は対数の理論とは直接の関係はありませんが、純粋数学は明晰判明であるのが本来の姿であること、そして対数の理論は純粋数学に所属することを、オイラーは確認し、強調しています。そうである以上、負数と虚数の対数をめぐって論争があること自体がすでに、オイラーにとっては理解しがたいことでした。論文［E168］の続きを読んでみたいと思います。

「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」より(2)

《対数の理論はもとより純粋数学に属しているから、この理論が今まで煩瑣な論争に拘束されてきたことを知れば、だれしも大いに驚愕することであろう。この論争では、どのような方策が表明されたとしてもさまざまな矛盾につねに逢着し、それらを除去するのはまったく不可能のように見えるのである。だが、もし真理はいたるところで保持され続けるべきであるとするなら、これらの矛盾は、たとえどれほどあからさまに見えようとも、ことごとくみな見かけ上そのように見えるだけでしかありえないこと、そうして真理を救う手立てをどのような場所から取り出すことができるのか、わからないとはいうものの、その手立てがないわけがないことに疑いの余地はない。》

　ライプニッツとヨハン・ベルヌーイは協力して無限解析を創り上げた偉大な数学者で、数学上の二人の意見は場合はたいていの場合、折り合いがついたのですが、ひとたび対数がテーマになると、主張と反駁が交互に繰り返されてて妥協点が見あたらないというありさまで、最後まで決着がつきませんでした。ですが、オイラーには確信があったようで、矛盾めいた現象がどれほど目につこうとも、それらは見かけ上のことにすぎず、真理を救う手立てがないはずがないと信念を吐露しています。結局、オイラーは対数の無限多価性という「真理」を発見し、ライプニッツとベルヌーイの論争を通じて語られた矛盾をことごとくみな解消するにいたりました。数学的発見への第一着手は、どこまでも個人的としかいえない強固な心情です。真理の存在を確信する心情のないところに数学的発見はありえません。
　ライプニッツとヨハン・ベルヌーイの往復書簡から負数と虚数の対数言及されているものを拾うと、ライプニッツからベルヌーイに宛てた1712年3月16日付の手紙あたりからこの問題が現れ始め、1712年3月16日のライプニッツのベルヌーイ宛の手紙まで、双方向にそれぞれ５通ずつ、計10通の書簡が目に入ります。オイラーはこの論争を「たいへんな迫力をもって沸騰した様子が見て取れる」と評しています。そこでオイラーはこの二人の見解を別々に紹介し、続いて「各々の人物が自分の見解を支えるために使った議論のすべてを書き添えて、最後に、それらの議論とともに、各々の見解それ自体に向けられうるさまざま異議を詳しく語るという手順を丹念に踏んでいきます。そうして、そのようにするのはなぜかといえば、

《この二人の偉大な人物が懸命に思索したにもかかわらず果実を摘むことのなかった事態を受けて、真理を発見し、あらゆる異議に抗してその真理を保証するのはどれほど困難なことなのかということを、よりよく判断することができるようにするためである》

というのです。数学の世界におびただしい数の発見をもたらしたオイラーは、発見の困難をだれよりもよく知る人なのでした。

　数学を純粋数学と応用数学に分ける流儀は今日でも普通に行われていますが、前世紀の終りが近くなったころ、なんとなく純粋数学の行き詰まりという雰囲気が現れたことがあります。純粋数学の範疇内にとどまって数学を押し進めていくのは、これ以上はもうむずかしいのではないかという空気が数学の世界を覆ってきたようなムードでしたが、その行き詰まりの打開をめざすのだという触れ込みで、応用数学との融合に活路をみいだそうとする潮流も発生しかけました。
　19世紀はじめのドイツの数学者ヤコビは、数学は何のためにするのかと問う人に対し、「人間精神の栄誉のために」と格調高く宣言したというエピソードが伝えられていますが、ヤコビに続き、19世紀全体を通じてドイツの数学界はいわゆる純粋数学の黄金時代でした。この世紀のドイツの数学が到達した高みには異様なものがあり、広く人類の文化史上から見ても永遠に語り継がれ、繰り返し回想されることになろうかと思いますが、この潮流は20世紀はじめのヒルベルトとその継承者たちの時代まで流れ続けました。
　このような純粋数学の全盛期には、応用数学は学問的に一段と格が低いかのように思われがちだったのですが、純粋数学の世界に時代閉塞のイメージが生れたとき、しきりに応用数学との融合が語られるようになりました。その際、よく耳にしたのは、近代数学のはじまりのころは純粋数学と応用数学の区分けはなく、ニュートンの力学形成が微積分の形成と不可分であったように、数学はもともとひとつだったのだというふうな主張でした。ひとことでこれを評すれば、当初の数学は「数理科学」というべき学問だったのであり、純粋と応用に分れたのはむしろ不健全で、数学にとっては不幸な時代だったのだという評価になります。それで、純粋数学へのこだわりを捨てて、かつてそうであったように健康な数理科学の時代に帰るべきで、純粋数学の将来は、今日の数理科学の中から生れてくるだろうというのでした。
　ところが、負数と虚数の対数に関連して現れたオイラーの発言は、このような今日の議論とはまったく反対です。オイラー自身は数学の名のもとにありとあらゆる研究領域を渉猟した人で、数論や無限解析などの純粋数学と並んで、力学、変分法、天文学など、応用数学の方面でも大いに活躍しました。まことに数理科学者と評するべき人物なのですが、そのオイラー自身は純粋数学と応用数学を峻別し、純粋数学の明晰判明なことを「常々誇りにしていたのである」というのです。渾然一体となった数理科学の世界から純粋数学が抽出されというのは俗説で、数理科学の全盛期からすでに、純粋数学は名誉ある固有の位置を占めていたのです。偉大な数理科学者オイラーは偉大な純粋数学者でもありました。

　ここまでの観察を基礎にして判断すると、オイラーは負数と虚数の対数の存在を確信し、それはどのようなものかという問題を立てて独自に考察を続けてきたことがわかります。オイラーはこの領域に特有の判じ物のような現象にいくつも逢着しましたが、わけてもめざましいのは、対数の無限多価性という一見して奇抜な現象でした。オイラーはこれをパラドックスと見て、解消する努力を重ねたように見えますが、その途次、『無限解析序説』の執筆と相前後して、ライプニッツとヨハン・ベルヌーイの往復書簡集が刊行されました。往復書簡集の刊行と『無限解析序説』の執筆は同年（1745年）ですが、おそらく往復書簡集が決定的な契機になってオイラーの思索が成熟し、論文［E168］「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」が成立したと見てよいのではないかと思います。この論文がベルリンの科学アカデミーに提出されたのは、ヤコビの調査によれば1745年9月7日ということですから、1745年という年は「複素解析が誕生した年」として数学史に記録する値打ちがあります。
　論文［E168］は次のように書き出されています。

「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」より(1)
　《対数の理論はきわめて堅固に確立され、そこに包摂されているさまざまな真理は、幾何学の種々の真理と同じくらい厳密に証明されているように見える。だが、それにもかかわらず、数学者たち（註。複数形になっていますが、具体的にはライプニッツとヨハン・ベルヌーイを指していると見てよいと思います）は負数と虚数の対数の本性をめぐってなお大きく見解が分れている。そうしてこの論争がそれほど激越なものには見えないとすれば、その理由はおそらく、あらゆる人々の眼前に、負数と虚数の対数に寄せる数学者たちの考えを拘束するさまざまな困難、それに矛盾さえもが繰り広げられることに起因して、数学の純粋な諸分野において提出されるすべての事柄の確実さを疑わしく思う心情に傾くのが望まれなかったという点に求められると思う。というのは、数学者たちの考えは応用数学に関連する諸問題についてはおおいに異なることがありうる。応用数学の場では、いろいろなテーマを考察し、それらのテーマを精密な諸概念へと帰着させていくうえで採用される道筋の多彩さのため、現実的な論争が引き起こされることがある。ところが数学の純粋な諸分野はこんな論争の的から完全に免れていて、そこには真実と虚偽のいずれかを証明することのできない事柄は何もないことを、常々誇りにしていたのである。》

　数学を応用数学と純粋数学に区分けして、両者の学問上の性格の相違点が明確に語られていますが、これだけを取り出しても興味の深い事柄です。ここに表明されているのは、純粋数学ははじめから純粋なのであり、応用数学の中から抽出されたのではないという確固とした信念です。純粋数学には「真実と虚偽のいずれかを証明することのできない事柄は何もない」とオイラーは言い、そのことを「常々誇りにしていたのである」とさえ、言葉を重ねています。オイラーは、数学とは何かという問いを問うことのできる偉大な数学者でした。

　続いてオイラーは方程式y=(-1)^xにより規定される曲線、すなわち関数y=(-1)^xのグラフを描くことにより生成される曲線の形状の観察に移ります。この関数はごく簡単で、一見するとむずかしいところはどこにもありそうにありませんが、グラフを描こうとして変化量xに個々の値を与えてみると、とたんに途方もない困惑に陥ってしまいます。xが整数なら、対応する関数値yの算出は明瞭で、xが偶整数ならy=1、xが奇整数ならy=-1となります。xが分数の場合でも、既約分数の形に表示されているとして、分子が偶数ならy=1となることは明らかですし、分子と分母がともに奇数ならy=-1となります。ところが、xの分母が偶数で、分子が奇数の場合には、yの値は虚量になります。xが分数ではないとき、すなわち非有理数の場合にも同様で、対応するyの値はまたしても虚量です。
　このような考察を踏まえて関数y=(-1)^xのグラフの姿を思い描くと、状況は実に奇妙です。このグラフ上の点はすべて、切除線と平行で、しかも切除線から距離1だけ離れている二本の平行線上に配置されているのは明白ですが、yの値が虚量のときは、グラフを描こうとする平面上に、対応する点が存在しません。したがって、どちらの直線上でも、それらの点は稠密に分布していて、しかもどの二点の間にもいわば「隙間」があります。二直線の各々の上にどんなに小さな区間を取っても、その区間内には必ず、関数y=(-1)^xのグラフの点が存在します（稠密性）。それと同時に、どんなに短い区間内にも、このグラフ上の点ではない点もまた必ず存在します（幅のない隙間の存在）。
　もう少し一般に、方程式y=(-a)^xを考えても同様の現象が起ります。オイラーはこれを「変則的な事態」と見て、「超越曲線にのみ起こりうるパラドックス」と言っています。関数y=(-a)^xを複素指数を用いて表示すれば、
　　　y=e^(x log(-a))
という形になります。オイラーが例示したパラドックスは、負数-aの対数log(-a)に起因して生じることがわかります。

　log(-1)=0ではないにもかかわらず2 log(-1)=0となったり、実量aの半分の量が二つ、三分の一の量が三つ、四分の一の量が四つ存在したりするなど、負数と虚数の対数を考えると、とたんに理解しがたいパラドックスに出会います。これに加え、オイラーはなお歩を進めてもうひとつのパラドックスを語っています。それは「対数の無限多価性」のことで、

《どの数にも無限に多くの対数が存在し，しかもそれらのうち実量であるものはひとつより多くは存在しない》

というのですが、論文［E168］「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」では対数の無限多価性が数学的発見として語られていることを思い合わせると、いくぶんかの感慨を禁じえません。『無限解析序説』の段階ではパラドックスと認識されていた数学的事実が、直後に書き上げられた論文［E168］では、発見として認識されました。このような事態を目の当たりにすると、数学的発見というものの本性は数学的事実そのものにでははなく、事実を発見と見る認識の目の中に宿っていることがありありとわかります。
　オイラーとともに対数の無限多価性の一例を挙げると、1の対数は0ですが，それにもかかわらず、1の虚の対数が無限に多く存在します。すなわち、
　　2 log(-1)
　　 3 log(-1±√-3)/2
　　4 log(-1)
　　4 log(±√-1)
などはみな1の虚の対数です。1の任意の冪根を考えることにより、ほかにも無数に作ることができます。
　実量aの対数の無限多価性には、前述のパラドックスに比べると「はるかにもっともらしい感じがある」とオイラーは言っています。実際、x=log aと置くと，a=e^x。右辺を無限級数に展開すると
　　a=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...
となりますが、これは次数が無限大の方程式です。そこでオイラーは、「xが無限に多くの根をもっても驚くほどのことはないのである」と言っています。「驚くほどのことはない」という心情から、これを数学的発見と認識する心情まで、パラドックスと発見を隔てる距離は一歩です。この一歩の距離は遠いようでもあり、近いようでもあります。

　負数の対数が虚量になることは、ヨハン・ベルヌーイの「美しい発見」により明らかと見て承認することにすると、ここからパラドックスが発生します。しばらくオイラーに追随してみたいと思います。今、nは正の数とすると、負数-nの対数log(-n)は虚量になりますが、オイラーとともにこれをiで表します。すると、
　　　log(-n)^2=log n^2=2i
となりますが、log n^2は実量で，2 log nに等しいのですから、実量log nと虚量iはどちらも実量log n^2の半分であることになってしまいます。これは理解しがたい矛盾です。
　この種のパラドックスはほかにもいろいろ出てきます。任意の実量aに対し、その半分、すなわち「二倍するとaに等しくなる数」は二つ存在します。ひとつはa/2で、これは実量ですが、もうひとつ、a/2+log(-1)もまたそのような量になります。なぜなら、これを２倍すると、log 1=0により、
　　a+2 log(-1)=a+log(-1)^2=a+log 1=a
となるからですが、a/2+log(-1)は虚量です。この計算により、同時に、
　　2 log(-1)=0
すなわち
　　+log(-1)=-log(-1)
となることも示されていますが、この奇妙な等式は-1=(+1)/(-1)からも出てきます。というのは、
　　log(-1)=log(+1)-log(-1)=-log(-1)
となるからです。するとlog(-1)=0ということになりますが、これは「ヨハン・ベルヌーイの発見」とは相容れない事態です。
　同様の推論を続けていくと、「三倍するとaに等しくなる数」は三つ、存在することがわかります。実際、1の三乗根は三つあり、1のほかに(-1±√-3)/2もまた「三乗すると1」になりますから、log 1=0により、
　　3 log(-1±√-3)/2=log 1=0
となります。したがって、同一の量aの三分の一は，
　　a/3と
　　a/3+log(-1+√-3)/2と
　　a/3+log(-1-√-3)/2
の三つです。ここには虚数(-1±√-3)/2の対数が現れています。これらのうち、実量はa/3だけで、あとの二つは虚量です。同様に、任意の実量aに対し、その四分の一に等しい量は四つ存在し、それらのうちひとつだけが実量です。こんなふうにしてどこまでも続きます。
　このような状勢を紹介した後に、オイラーは

《このパラドックスを通常の量の観念をもって解消するにはどのようにしたらよいのであろうか》

と自問して、「この点は明瞭ではない」とみずから語っています。『無限解析序説』の時点ではオイラーも困惑していたわけですが、何をどのように考えあぐねていたのか、隠すことなく率直に表明するのがオイラーの流儀です。そうして困惑の根柢には、負数や虚数にも対数があるのだという確信があり、この原点は決して揺らぎません。

『無限解析序説』巻2のオイラーの言葉をもう少し読み進めていくと、「負の数の対数は虚量である」という、きっぱりとした宣言に出会います。その理由として、「おのずから明らかであると言ってもいいし，log(-1)と√-1の比が有限値をもつことによりわかると言ってもいい」という註釈がさりげなくつけられていますが、ここは見のがすことのできない論点です。何よりもまず、オイラーは、-1の対数log(-1)が存在すること自体についてはまったく疑問を抱いていないことがわかります。そのうえでなお一歩を進め、log(-1)は虚量であると明言するのですが、オイラーはこれを自明と見ている様子が読み取れます。自明というので納得がいかないのであれば、「log(-1)と√-1の比が有限値をもつ」という事実からわかるとも、オイラーは言い添えていますが、この註記の背景にあるのは、オイラーの数学の師匠のヨハン・ベルヌーイの発見です。
　ヨハン・ベルヌーイの発見というのは、
　　　(log√-1)/√-1=π/2
という等式のことですが、これはベルヌーイの1702年8月5日付の手紙に書き留められています。このとき、ベルヌーイの所在地はオランダのグロニンゲンでした。オイラーは1749/51年の論文［E 168］「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」でもこの等式に言及し、「ヨハン・ベルヌーイの美しい発見」と呼んでいます。負数と虚数の対数を考察するうえで、一番奥深いところに位置を占めていて、オイラーが究極の拠り所にした等式です。
　今、ひとまずこの発見を承認してみると、
　　　log√-1=(π/2)√-1。
両辺を2倍すると、左辺は
　　　2 log√-1= log(√-1)^2=log (-1)
となり、右辺はπ√-1となりますから、等式
　　　log (-1)=π√-1
が手に入ります。すなわち、log(-1)と√-1の比はπになることがわかり、上記のオイラーの言葉の通りです。指数に移行すれば、等式(log√-1)/√-1=π/2、すなわち等式
log√-1=(π/2)√-1は、
　　　e^((π/2)√-1)=√-1
を与え、等式log (-1)=π√-1は、
　　　e^(π√-1)=-1
を与えます。どちらも周知の「オイラーの公式」の特別の場合ですが、複素指数量の考察から直接、取り出されたというのではなく、ベルヌーイの本来の関心事は負数と虚数の対数にあったことに、くれぐれも留意しておきたいと思います。

　xは変化量として、解析的表示式y=x^√2を作ると、新たな変化量yが手に入ります。この変化量yは、オイラーが提案した三種類の関数のうち、第一番目の関数です。関数yのグラフを描くと曲線が生成されますが、それを単に「方程式y=x^√2で表される曲線」と言い表わすこともあります。これは超越的な曲線です。言い換えると、代数的ではない曲線であり、精密に描くためには対数に支援を要請しなければならないとオイラーは言っています。

《もしこの曲線を精密に描きたいというのであれば，対数の支援なしにこの作業を遂行するのは不可能である．実際，y=x^√2として対数を取ると，log y=√2 log xとなるから，切除線の対数に√2を乗じると向軸線の対数が与えられることになる．そこで対数表を使えば，任意の切除線xに対して，対応する向軸線が指定される．たとえばx=0ならy=0となる．x=1ならy=1となる．これらの値は対数を取る前の元の方程式を見ればごく簡単に導かれる．ところがx=2ならlog y=√2 log 2=√2×0.3010300．そうして√2=1.41421356よりlog y=0.4257207．したがって，近似的にy=2.665144．x=10ならlog y=1.41421356．よってy=25.954554となる．こんなふうにして個々の切除線に対して，対応する向軸線の数値が算出され，曲線が描かれる．》

　このような手順を経て、関数y=x^√2の値は対数log x の値を通じて算出されますが、これは変化量xが正の値を取る場合のことで、xの負の値に対応するyの値を求めようとすると、状勢はとたんに不明瞭になってしまいます。たとえばx=-1ならyの値は(-1)^√2と表示されますが、この不思議な値を確定するのはむずかしく、実と虚の判別も不明瞭ですし、そもそも意味がよくわかりません。上記の通りの手順を踏んで対数に助けを求めれば、この値は
　　　e^(√2 log(-1))
と表示されることになり、今ここで直面している問題は、負の数-1の対数log(-1)とは何か、という問い掛けに帰着されることになります。-1以外にも、一般にxが負の値のときにはつねにこの種の問題が発生しますから、関数y=x^√2の考察を通じ、負数の対数の究明への路がおのずと開かれることがわかります。

　オイラーが負数と虚数の対数の考察へと向かう契機は、曲線の解析的源泉を関数概念に見ようとする『無限解析序説』の構想の中に、おのずと芽生えました。この名高い書物を回想すると、巻1で関数概念の諸相がさまざまに語られたのを受けて、巻2では曲線の諸性質が関数の諸性質を基礎にして次々と究明されていきました。根柢には、関数は曲線のすべての性質を理解するための源泉であるという思想が横たわり、曲線の方は関数の「グラフ」として認識されることになります。
　足場をこのように定めると、関数というものの広がりをどこまで許容するのかという問題が新たに浮上しますが、この論点を究明していくと、おのずと負数と虚数の対数に出会います。
　しばらくオイラーの言葉に追随して、『無限解析序説』巻2の第21章「超越的な曲線」を一読してみたいと思います。オイラーの話は代数関数と超越関数の区分けから始まります。

　《関数は代数的でなければ超越的である。それゆえ、ある曲線の方程式の中に超越関数の姿が見られるなら、その曲線は、その超越関数が存在するために超越曲線になる。代数方程式について言うと、代数方程式というものは、有理的であって整数以外の冪指数の姿が見えないか、あるいは非有理的ではあるが、そこに見られるのは分数冪指数のみであるかのいずれかである。後者の場合、方程式はつねに、前者の場合のような有理的な形に帰着される。》

　変化量xの冪を作って新たな変化量y=x^aを考えるとき、xは実変化量、すなわちxの取る値は実数に限定されるとして、もしaが整数なら、yの取りうる値は、xの取る値に基づいて簡単に算出されます。aが分数のときも、格別の問題は生じません。ところが、aが無理数の場合、たとえばa=√2とすると、とたんに解明しがたい状勢が現れます。

《曲線の方程式は座標xとyの間の関係を表わすが、その方程式には，有理的ではなく、しかも有理的な形に帰着させることもできないという性質が備わっているとしよう。そのとき、その曲線は超越曲線である。もし方程式の中に、整数でも分数でもない冪指数をもつ冪が現われるなら、その方程式はいかなる仕方でも有理的な形に帰着させることはできない。したがって、そのような方程式で表される曲線は超越曲線である．こうして第一種の超越曲線、すなわち、もっとも単純な種類の超越曲線が生じる．そのような曲線の方程式には非有理的な冪指数が実際に姿を見せるのである。この種の方程式には対数も円弧も姿を見せず，ただ非有理数の概念の認識のみを元にして発生するから、第一種の超越曲線はどちらかといえばむしろ通常の幾何学の守備範囲に所属するようにも見える。そうしてまさしくこの状勢に論拠に求めて、このような曲線はライプニッツにより内越的(インターセンデンタル)という名で呼ばれたのである．代数的曲線と超越的曲線の真ん中あたりの位置を占めるというほどの意味合いである。》

　関数y=x^√2のグラフを考えると、ライプニッツが例示した曲線が手に入ります。この関数は形も簡単ですし、一見すると代数的のようにも見えますが、実際には超越曲線です。ではありますが、対数や円弧のような明々白々な超越量に比べると、超越性の度合いが低いようでもあります。そこでライプニッツはこのような曲線をインターセンデンタルと名づけたと、オイラーは説明しています。「超越的」はトランセンデンタルに当てられた訳語ですが、インタ−センデンタルという言葉を見たのはオイラーの著作がはじめてですし、もとより訳語は見たことがありません。「内越的」というのは変な言葉ですが、当面の工夫です。

　負数と虚数の対数とは何かという問題を論じるオイラーの論文は、二篇あります。ひとつは

　［E 168］
　「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」

という論文で、19世紀のドイツの数学者ヤコビの調査によれば、1747年9月7日付でベルリン科学アカデミーに提出され、1749年度のベルリン・メモワール（巻5）に掲載されました。139頁から179頁まで、41頁に及ぶ長篇です。実際の刊行年は1751年にずれこみました。
　もう一篇は、

　［E 807］
　「負数と虚数の対数について」

という論文で、内容は[E168]とほとんど同じですが（異なるところもあります）、オイラーの生前には公にされず、19世紀も半ばをすぎたころ、1862年に刊行された『遺稿集』巻1に収録されました。269頁から281頁まで、13頁の論文です。執筆された時期も定かではありませんが、内容から推して、もうひとつの論文[E168]と同じころと見て間違いないと思います。ベルリン科学アカデミーのアーカイブに原稿が保存されています。
　負数と虚数の対数の考察へとオイラーを誘った契機は何か、ということがまずはじめに問題になりますが、論文[E168]のタイトルにヒントがあり、負数と虚数の対数をめぐってライプニッツとベルヌーイの間に論争があったことがわかります。ベルヌーイ一族には幾人もの数学者が相次いで現れたことで有名ですが、ここに登場するベルヌーイはオイラーの数学の先生であったヨハン・ベルヌーイで、ベルヌーイ家の三人のヨハンのうち、一番はじめのヨハンです。兄のヤコブとともにライプニッツの無限解析を学び、修得し、大きく発展させた人ですが、そのヨハンが、負数と虚数の対数をめぐってライプニッツと論争したというのです。オイラーは論文[E168]においてこの論争を回想し、両者の主張の論拠と反駁に検討を加え、そのうえ「対数の無限多価性」という自説を展開するのですが、その様子に立ち入る前に、関連する諸文献の配列の時系列に留意しておきたいと思います。
　オイラーが論文[E168]をベルリンの科学アカデミーに提出したのは1747年の９月ですが、それに先立って、1745年に、ライプニッツとヨハン・ベルヌーイの往復書簡集が刊行されました。負数と虚数の対数をめぐる両者の論争は書簡のやりとりを通じてたたかわされたのですが、この書簡集の刊行により、その様子が明らかになりました。オイラーが大きな刺激を受けたのは間違いのないところですが、この1745年という年にはもうひとつの重要な出来事がありました。すなわち、この年は、オイラーが『無限解析序説』（全２巻）の執筆を完了した年でもありました。『無限解析序説』にも負数の対数に関する考察の痕跡が認められますが、それらはオイラーの独自の考察と見るべきで、ライプニッツとベルヌーイの論争の影は、この時点ではまだ射していなかったと思われます。

　オイラーの数論の話が展開してガウスの数論を語ろうとする場面にさしかかりましたが、ここでひとまず数論を離れて、懸案の複素解析の源流の探索をめざしたいと思います。オイラーの名を冠した公式はいくつもありますが、わけても有名なのは、

　　　e^(x√-1)=cos x+√-1 sin x

という公式です。ここで、eは自然対数（双曲線対数ともいいます）の底と呼ばれる定数で、
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352...
というふうに、小数点以下の数字がどこまでも限りなく続きます。xは変化量です。この公式においてx=πと取ると、等式

　　　e^(π√-1)=-1

が手に入りますが、ここには自然対数の底eと円周率πと虚数√-1という、数学の根幹に触れる三つの数が同時に現れて、相互に密接に結ばれています。いかにも不思議な感じの伴う関係式で、見る者の心を揺さぶりますが、オイラー自身の心情に立ち返るなら、オイラーは別にこのような等式の発見をめざしていたわけではありません。オイラーが真に探究していたのは、e^(π√-1)のように虚数の冪指数をもつ指数、すなわち複素指数ではなく、指数と対をなす対数の方でした。オイラーは、

　　負数や虚数の対数とは何だろうか

という問題を究明し、与えられた数aに対し、その対数と呼ばれる数 log a はただひとつに限定されるのではなく、記号 log aの中には無限に多くの数値が内包されているという事実を発見しました。オイラーは対数の無限多価性に数学史上はじめて気づいた人なのであり、上記のオイラーの公式は、対数の無限多価性の認識の途上で遭遇したエピソードのひとつです。

　平方剰余相互法則を発見したガウスは、同時に三次と四次の相互法則の存在も感知したようで、実際に

　「四次剰余の理論」

というタイトルの二篇の論文（第一論文と第二論文）を書いています。ガウス以降、ガウスの数論の姿に触発された継承者たちが次々と出現し、「高次冪剰余の理論」という大掛かりな理論の形成へと向かいました。この新たな数論の流れには、アーベル、ヤコビ、アイゼンシュタイン、ディリクレ、クンマー、クロネッカー、ヒルベルト等々、19世紀の数学史を代表する偉大な数学者たちの名が並びます。アーベルはノルウェーの人ですが、そのほかはみなドイツの数学者ばかりです。最後に登場するヒルベルトは類体論の構想を提示したことで知られていますが、このアイデアは高木貞治に継承されて結実し、類体論を基礎にして「アルチンの一般相互法則」が確立され、相互法則の理論もまた同時に完成の域に達しました。これは20世紀の前半期の出来事ですが、ガウスの著作『アリトメチカ研究』が世に出た1801年を出発点として、おおよそ100年あまりです。高木貞治は『近世数学史談』の中で、

「ルジャンドルの整数論は史料としてのみ意味を有するが、ガウスの整数論を我々は百年後に至って漸く消化し終らんとしつつあるのである」

と語っていましたが、この言葉の後半、すなわち「ガウスの整数論を我々は百年後に至って漸く消化し終らんとしつつある」という部分はまさしくその通りです。
　ルジャンドルが相互法則を持ち出したのは素数の形状理論を完成させるためでしたが、ガウスの数論では相互法則そのものが究明の対象になっていて、相互法則の次数を高めるという方向に進んでいきました。ガウスの数論が斬新なことは言うまでもないことですが、そうかといってガウス以前の数論を急な坂道の麓にたとえるのはやはり不適切で、ガウスを賞讃しようと思う心のあまり、思わず筆がすべったのであろうと見ることにしたいと思います。ルジャンドルが描写したガウス以前の数論（オイラーの数論）をガウス以降の数論（ガウスの数論）と比較して優劣を競うのは意味のないことで、両者の主観的内容が異なっている以上、二つの異質の数論的世界が数学史上に現れたと認識する方がよいのではないかと思います。数学では同じ理論がつねに単調に進展していくわけではなく、数学史の流れを俯瞰すれば、主観的内容を異にする諸理論がさまざまに変容を重ねながら折り重なっている情景が目に映じます。

　ガウスの数論の印象をもう少し具体的に述べてみると、ガウス以前の数論の世界でのフェルマの位置を占めるのは、オイラーであろうと思います。かつてのオイラーの役割を果したのは、今度はガウスです。ガウスに及ぼされたオイラーの影響の大きさを思うと、おのずとこのような判断に傾きます。ただし、オイラーとガウスの関係は、フェルマの言葉を証明しようとしたオイラーの場合の