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対数の無限多価性

 対数というものを考えるためには、そもそものはじめに、何らかの数aをあらかじめ指定して、固定しておかなければなりません。それは「対数の底」と呼ばれることになる実数ですが、何かある数xが与えられたとき、xの対数とは何かと問われたなら、「aの冪a^yがxに等しくなるような冪指数y」のことと答えるのがオイラーの流儀です。このようなyのことを「底aに関するxの対数」と言いますが、特にa=10と取るときの対数のことを常用対数と呼び、a=eと取るときの対数のことを自然対数と呼ぶのが通例になっています。自然対数は双曲線対数と呼ばれることもあります。これから先は、特に断らない限りつねに自然対数を考えることにして、これまでもそうしてきたように、xの対数yを

   y=log x

と表示することにします。さて、xの対数yはただひとつしかないように見えますが、これを否定して、「各々の数xに対し、その対数は無数に存在する」と主張したのがオイラーの新機軸です。オイラーはこう言っています。

《ある提示された数の対数は、ある任意に取り上げられた数の、提示された数に等しくなる冪の冪指数であると言うとき、この観念の正しさには欠けているものは何もないように見える。もとよりこれは完全に正しい。だが、この観念には一般に、この観念に適合しない状勢が伴っている。それは、ほとんど気づくことはないが、各々の数に対応する対数はただひとつしかないと、通常は想定されているという事実である。そうして、そのことをほんのわずかでも考えてみれば、対数の理論が困惑させているように見える困難や矛盾が成立するのは、各々の数に対しただひとつの対数しか対応しないと想定する限りにおいてであることがわかる。そこで私は、これらの困難と矛盾のすべてを消失させるために、与えられた定義そのものに基づいて、各々の数に対して無限に多くの対数が対応すると主張する。》

 ライプニッツとベルヌーイの論争を検討する中で、不可解な矛盾にしばしば逢着しましたが、すべての矛盾は対数がただひとつしか存在しないと思うことに由来するのであり、「対数の無限多価性」を承認すればいっさいの矛盾は解消するというのですから、非常に斬新で、しかも高度の観念性を備えた数学的発見と見なければなりません。オイラーが計算の名人だったとはよく語られますが、その反面、無限級数の収束性などには頓着しなかったなどと言われることもあり、全般にあまり思索的ではないような印象がつきまといます。ですが、対数の本性を粘り強く究明して無限多価性の発見に到達し、大胆に宣言するあたりなど、通説に大きく反し、偉大な数学者に特有の深遠な思索が遍在しているように思います。、

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大前提を疑う

ここまでのところでオイラーはベルヌーイのライプニッツと双方の論拠を紹介し、各々の論拠に対する異議も挙げていきましたが、複雑に入り組んだ思索の果てに到達したのは、「ベルヌーイとライプニッツのどちらが正しいとも言えない」という不可思議な数学的状勢でした。そこでオイラーはまず、「対数の理論を適切に確立し、もはやいかなる矛盾にもさらされることのないようにする」ということを考えて、これを「きわめて重要な一問題」として語りました。相容れない二つの主張の中間になんとかして妥協点をみいだそうとする問題ですが、こんな問題を口にしたそばからすぐに、オイラーはこれを取り下げてしまいます。その理由はなぜかといえば、「双方の側でみいだされる諸矛盾の重さを十分に勘案すると、そのような妥協は全くの不可能事なのだという考えに導かれていく」からであるというのです。そうしてそのうえでなお言葉を続け、

《数学の敵手たちは、そのような妥協案から必ずや、この学問の確実さに敵対する非常に厄介な帰結をさまざまに取り出してくることであろう》

と不思議なことを言い添えています。数学では妥協案をさぐるのはよいことではない。そんなことをすると、そこからたちまちほころびが生じ、「数学の敵手たち」はそこにつけこんで、やっかいな悶着を引き起こしにかかってくりからだ、というほどの意味合いでしょうか。「数学の敵手たち」というのも不思議な言葉で、オイラーの念頭にあった「数学の敵手たち」というのはどのようなタイプの人たちなのか、はっきりとはわかりませんが、無限解析の基礎があいまいだといって批判を加えた人もいますし、数学の悪口をいう人は今日でも絶えません。妥協案を探ったりしたら、数学を批判したくて手ぐすね引いて待ち構えている人たちに、恰好の材料を与えてしまうということであろうと思われますが、妥協案という考えは、そもそも数学には根本的に相応しくありません。オイラーはこう言っています。

《しかし私は、塵ほどの疑念も残らないほど明確に、この理論は堅固に確立されること、それに、上記のあらゆる困難は、その源泉を、ほとんど正しいとは言えない唯一のアイデアから汲んでいることを示したいと思う。したがって、このアイデアを修正しさえすれば、それらの困難や矛盾はことごとくみな、たとえどれほど強力に見えたとしても、たちまち消失してしまう。そうしてそのとき、この対数の理論の全体はみごとに成立し、それまでは解決できそうにないと思われたあらゆる異議に、たやすく応えることができるようになる。》

ベルヌーイとライプニッツの議論に決着がつかないのは、出発点が誤っていたからなのだ、とオイラーは主張します。負数と虚数の対数を考えると不可解なミステリーに次々と遭遇してしまうのは、そのような対数を考えようとする際の大前提に、そもそも間違いがひそんでいたのではないか、とオイラーは言っているように思います。それは、疑う余地はどこにもないとしか思われないごく自然な前提で、

《正の実数の対数がただひとつしか存在しないのと同様に、与えられた負数と虚数に対し、その対数もまたただひとつしか存在しない》

というのです。-1の対数log(-1)などもひとつに決まっているものとして、0になるのか(ベルヌーイ)、虚量になるのか(ライプニッツ)と言い合ってきたのですが、「ひとつに決まる」という点に限れば、どこをどう見ても当たり前のこととしか思えません。

ライプニッツの第三の論拠

ライプニッツが挙げている第三番目の論拠は式e^yの値の無限級数表示
 
  e^y=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
      +y^4/4!+y^5/5!+・・・

に基づいています。この級数はyがどのような値であってもつねに収束しますから、第一の論拠のときのような弱点は起こりません。第一の論拠は発散級数に基礎を置いていましたので、そこに目をつけられて異議が提出されたのでした。
 さて、y=log xと置くと、x=e^yですから、上記の通り、

   x=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
      +y^4/4!+y^5/5!+・・・

と表示されます。-1の対数を考えるためにx=-1と置くと、方程式

   -1=1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
       +y^4/4!+y^5/5!+・・・

が手に入り、この方程式の根yが-1の対数になります。すなわち、y=log(-1)となります。そこで、この無限大の次数をもつ方程式の根を見つけることが問題になりますが、すぐにわかるように、値y=0はこの方程式の根ではありえません。というのは、もしy=0が根になるとすれば、右辺においてy=0を代入すると-1=+1が帰結して矛盾に逢着してしまうからです。これで、-1の対数は0ではないことが明らかになりました。また、yが実数である限り、そのようなyの値に対しても、級数

   1+y/1+y^2/2!+y^3/3!
       +y^4/4!+y^5/5!+・・・

の値は決して負にはなりません。ということは、特に、この級数はいかなる実数yに対しても-1にはならないことになりますから、log(-1)は決して実量ではないこと、すなわち虚量になることがわかります。
 この論拠はどこを見ても完璧で、異議を持ち出す余地は皆無としか思えませんが、オイラーはいくぶん不思議な印象の伴う異議を紹介しています。すなわち、上記の無限級数はいかなる実数yに対しても確かに負にはなりませんが、だからといって式e^yそれ自体が負にならないとは必ずしも言えないのではないか、というのです。この点を具体的に論証するために、オイラーは式1/√(1-x)を例に挙げています。この式は無限級数

   1/√(1-x)=1+(1/2)x+((1×3)/(2×4))x^2
      +(1×3×5)/(2×4×6))x^3+・・・

で表示されることはよく知られている通りですが、この等式の右辺はxのすべての値に対してつねに正になります。ところが、他方、式1/√(1-x)は正と負の二つの値を同時に表します。言い換えると、この式は二価の解析的表示式、すなわち二価関数なのであり、上記の等式の右辺の級数は、左辺の関数の正の値のみを表示しているのだというのです。そこで、もしこれと同じ状勢が式e^y(この式も解析的表示式です)にも認められるとするならば(すぐにはわからないことですが)、log(-1)が虚量であることを主張するライプニッツの第三の論拠は、根柢が失われてしまうことになってしまいます。
 log(-1)が虚量ならもしlog√-1もまた虚量であることになりますが、そうするとさまざまな困難や矛盾に陥ってしまう、とオイラーは言葉を続けます。なぜなら、もしlog√-1が虚量なら、その二倍もまた虚量になる道理ですが、他方、対数計算の原理に即して計算すると、

   2 log√-1=log(√-1)^2=log 1=0

となるからです。

 ここまでの論証のあれこれを回想すると、ベルヌーイの主張はベルヌーイ自身が発見した等式

   log√-1=(1/2)π√-1

に矛盾しているところが最大の弱点になっています。ライプニッツの主張はこの点においてベルヌーイの主張にまさりますが、ライプニッツの主張を受け入れると2 log√-1=0となってしまうという難点が伴います。ライプニッツとベルヌーイの主張の一方が間違っているのであれば、もう一方の主張は必然的に正しいことになるはずのように思えるところですが、そうはなりません。どうしたらよいのであろうかと、オイラーはまたしても大きな困惑を隠しません。

ライプニッツの第二の論拠

 今、yはxの対数として、y=log xと置くと、x=e^yとなります。ここで、eは自然対数(双曲線対数ともいいます)の底、すなわちその対数が1となる数ですが、近似値はe=2.718281828459というふうになります。この等式x=e^yを見ると、eの冪指数y(それはxの対数ですが)が実数である限り、xは決して負にならないことがわかります。したがって、もし等式e^y=-1が成立するのであれば、その場合のyは実数ではありません。y=0としてももちろんだめですから、-1の対数は実数ではないことがわかります。もっと一般に、xは負数-aとすると、等式e^y=-aは決して成立しないか、あるいは、もしそうでなければyの値は虚でしかありえないことになります。これがライプニッツの第二の論拠です。
 ところが、この論拠は、x=e^yにおいて、yが偶数の分母をもつ分数の場合を考えると破綻してしまいます。なぜなら、分母が偶数の分数m/(2n)がxの対数になっているとすると、x=e^(m/(2n))となりますが、右辺の式e^(m/(2n)) はe^(m/n)の平方根、すなわち「自乗するとe^(m/n)になる数」を表すのですから、正と負の二つの値を同時に表しています。したがって、m/(2n)はxの対数であるのと同時に-xの対数でもあることになります。
 さて、xの対数yは有理数ではありませんから、「分子と分母が無限大の分数」と同等である、とオイラーは言っています。ここはややむずかしい論点ですが、円周率πを無限積の形に表示するウォリスの公式などを思い浮かべればよいのではないかと思います。ともあれここをひとまず承認すると、分母と分子に同時に2を乗じることにより、「分母はつねに偶数と見なしてさしつかえない」ことになりますから、yは正数+xの対数であるのと同時に、負数-xの対数でもあることが明らかになります。これが、ライプニッツの第二の論拠に対する異議ですが、平方根の二義性に根拠を求めるとともに、「分子と分母が無限大の分数」において、分母を偶数と見るというところなど、なんとなく無理な感じのする手順にも途中で出会います。

ライプニッツの第一の論拠への異議

 無限級数
     -2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
         -(1/5)32-(1/6)64-・・・
を見ると、この級数を作っている項はどれもみな負で、しかも初項、第二項、第三項・・・と進んでいくにつれて項の大きさはどこまでも増大していくばかりです。このような級数の総和が0になることがあろうとはとうてい思えませんが、まさしくそこに、log(-1)は0ではないことを主張するライプニッツの第一の論拠がありました。ではありますが、「この事実はこの級数の和が=0ではありえないということの確実な証拠ではない」とオイラーは語っています。
 これを説明するために、オイラーは幾何級数

   1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-
     x^5+x^6-x^7+x^8-・・・

に例を求めています。この級数においてx=-2と置くと、

   -1=1+2+4+8+16+32+64+・・・

という等式が与えられ、x=-3と置くと、

   -1/2=1+3+9+27+81
       +243+・・・

という等式が与えられます。無限級数には収束と発散の問題があり、x=2と置いて生じる無限級数は発散級数であり、-1に収束する級数ではありえません。x=3と置いた場合についても事情は同様です。このような問題はつねにつきまとうのはその通りですが、その点はひとまず措くことにして、上記の二つの発散級数のように、項のすべてが同符号をもち、しかも諸項は絶え間なく増大するからといって、その級数の和が0にならないとは必ずしも言えないとオイラーは言うのです。
 そんな一例を与えるため、上記の幾何級数においてx=1と置くと、級数

   1/2=1-1+1-1+1-1+1-1・・・

が得られます。この級数に、級数

   -1/2=1+3+9+27+81
        +243+・・・

を項ごとに加えると、

   0=2+2+10+26+82
       +242+730+・・・

という級数が生じますが、右辺の級数はまさしく、オイラーが挙げようとした例になっています。この級数はともあれ0と等値されています。それなら、級数

   -2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
       -(1/5)32-(1/6)64-・・・

が0になることがあっても不思議ではないように思えてきます。これが、ライプニッツの第一の論拠に対してオイラーが紹介した異議です。発散級数に根拠を求めているところに不安を禁じえないものがあるにはありますが、ライプニッツの論拠の説得力を相殺するだけの力は十分に備わっているように思います。

ライプニッツの所見の第一の論拠

 ベルヌーイの所見を肯定しても否定しても矛盾に逢着するという理解しがたい状勢を目の当たりにして、オイラーは「どうしたらよいのであろうか」と歎息していますが、オイラーはこのような形で問題点を浮き彫りにしただけで、実際にはこの時点ですでに解決の道筋を発見していました。その道筋というのは「対数の無限多価性」を承認することで、負数でも虚数でも、あるひとつの数の対数はひとつしかないという、当然のように見える前提が誤っていて、種々の矛盾はまさしくそこに起因して発生することを、オイラーは正しく認識していました。オイラーは最後にこの発見を開示していきますが、今はベルヌーイとライプニッツの所見を紹介し、検討を加えている段階ですから、とりあえず嘆息してみせたという次第です。
 さて、今度はライプニッツの所見の検討に移る番ですが、ベルヌーイとは裏腹に、ライプニッツは負数と虚数の対数はいずれも虚量であると主張していました。これを言い換えると、等式log(-a)=log a+log(-1)が成立している以上、log(-1)は虚量であると主張されていることになりますが、これを支える第一番目の論拠は、数1+xの対数log(1+x)の無限級数展開に基礎を置いています。それは、

   log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4
       +(1/5)x^5-(1/6)x^6+・・・

という形の展開式ですが、しばらくオイラーの記述に追随していくと、まずx=0と置くと、左辺はlog 1、右辺は0になりますから、無限級数展開に基づいてlog 1=0となることが判明します。log(-1)の対数を手に入れるには、x=-2と置かなければなりませんが、これを遂行すると、

   log(-1)=-2-(1/2)4-(1/3)8-(1/4)16
         -(1/5)32-(1/6)64-・・・

となります。無限級数には収束と発散の問題がつねにつきまといますし、右辺の級数は収束しない級数、すなわち発散級数になるのですから、少なくとも左辺のlog(-1)という数値にはなりそうにありません。ではありますが、おもしろい論証であることは間違いなく、この無限級数展開式を見るほどに、log(-1)はとうてい0にはなりえないような心情に駆られます

オイラーの困惑

 このような次第ですから、ベルヌーイの主張はどうしても受け入れ難いという判断に傾いていくのですが、オイラーはなお一歩を進めて、驚くべきことを語っています。すなわち、ベルヌーイの主張を退けるのであれば、それで問題は決着するのかというとそうではなく、「ベルヌーイの所見を受け入れるとしても、拒絶するとしても、いずれにしても越え難い困惑と、さまざまな矛盾にさえ陥ってしまう」というのです。この様子をもう少し詳しく観察することにして、まず等式

   log(-a)=log(+a)

が成立するとしてみます。あるいは、同じことになりますが、

   log(-1)=log(+1) (この値は=0になります)

という等式が成立すると仮定してみると、等式

   log(√-1)=(1/2)log(+1)

により、log(√-1)=0でもあることになりますが、これはベルヌーイが発見した等式

   log(√-1)=(1/2)π√-1

にはっきりと反しています。ベルヌーイの発見を堅持する限り、こうして消しがたい矛盾に逢着します。
 今度はベルヌーイの主張は間違っているとして、log(-1)=log(+1)とはならないと仮定すると、左辺はlog(-1)+log(+1)ですから、log(-1)=0ではないことになります。するとlog(-1)=ωと置くとき、ω=0にはなりませんが、そうするとその二倍2ωもまた=0にはなりません。ところが、他方では

  2ω=log(-1)^2=log(+1)=0

となるのですから、これもまた矛盾です。
 もう一つの矛盾も生じます。明白な等式

   -x=-1×x=x/(-1)

の各辺の対数を取ると、

  log(-x)=log x+log(-1)=logx-log(-1)

となりますから、log(-1)=-log(-1)となりますが、log(-1)=0ではないと仮定されているのですから、これは矛盾です。a=0ではないのに+a=-aとなるというのはありえないことですから。
 こうしてベルヌーイの所見は正しいとも間違っているとも言えないという、困惑するほかはない事態に陥ります。オイラーはこんなふうな議論を踏まえ、

《この所見は正しいのか、間違っているのか、どうしてもいずれかでなければならないし、ほかに取るべき道があるとも思えない。それなら、このような窮状を脱し、これほどまでに巨大な諸矛盾に抗して真理を救うには、どうしたらよいのであろうか。》

と語り、困惑を隠しません。


ベルヌーイの第四の論拠に対する異議

 最後に検討しなければならないのは、ベルヌーイの第四の論拠です。オイラーは「この論拠は疑いもなく一番強力である」と言っていますが、その理由はといえば、「この論拠の根柢を支えるいかなる論点も、解析学および対数の理論の非常によく確立された諸原理を覆すことなしには、疑うことはできないからである」というのです。これを具体的に検討すると、まず(-a)^2=(+a)^2となるのは明らかで、これを否定することはできません。両辺の対数を取るとlog(-a)^2=log(+a^2)。これも明白です。次に、対数計算の基本に立ち返るなら、一般にlog p^2=2 log pとなりますから、
  log(-a)^2=2 log(-a)、log(+a)^2=2 log(+a)。
よって、2 log(-a)=2 log(+a)。よって、log(-a)=log(+a)となることになり、ベルヌーイの主張する等式に到達します。ここまでの論証のどの段階を見ても、疑いをはさむ余地はまったくありません。ベルヌーイの第四番目の論拠はこのようなものでした。
 この論証の誤りを指摘するのはむずかしそうですが、同じ論証により、ベルヌーイ自身も同意できないようなさまざまな奇妙な帰結が導き出されます。前と同じように明々白々な論証を積み重ねていくことにして、まず(a√-1)^4=a^4となります。よって、
   log(a√-1)^4=loga^4。
よって、
   4 log(a√-1)=4 loga。
よって、
   log(a√-1)=loga
となりますが、この等式は、負量の対数のみならず、虚量の対数もまた実量になることを示しています。特にa=1の場合を考えると、log√-1=log =0となります。さらに、等式log(-a)=log(+a)によれば、log(-√-1)=0となることもわかります。
 あるいは、こんなふうな論証も可能です。(((-1+√-3)/2)a)^3=a^3ですから、
   log(((-1+√-3)/2)a)^3=log a^3。
よって、
   3 log(((-1+√-3)/2)a)=3 log a。
よって、
   log(((-1+√-3)/2)a)=log a。
これは、虚量の対数log(((-1+√-3)/2)a)が0であることを示していますが、それと同時に、
   log(-1+√-3)/2=0
となることもわかります。
 ここで、ベルヌーイ自身が発見して等式
    (1/2)π=log(√-1)/√-1
を想起すると、
   log(√-1)=(1/2)π√-1
となりますから、log(√-1)=0となることはありえません。したがって、上記の論証のどこがどう間違っていると指摘できないとしても、ベルヌーイの発見を考察の根柢に置く限り、受け入れるわけにはいきません。こんな状勢を描写したうえで、オイラーは、

《それゆえ、log(√-1)=0となるというのは正しいとは言えず、たとえ第四の論拠がいかに堅固に見えようとも、その論拠からlog(-1)=0とlog(√-1)=0が導かれる以上、これを信頼してはならないのである》

と言っています。さらに、これもまたオイラーの言葉ですが、ベルヌーイの主張は「対数の全理論を覆さないことには受け入れることのできない事柄である」というほかはありません。

異議の続き

 対数曲線の分枝は一見する限り一本しかありませんが、たとえ目には見えなくとも、実はもう一本の分枝が存在するのだというのがベルヌーイの主張でした。その論拠はここまでのところで申し立てられた異議によりもう崩れたと思われますが、こんなふうに考えてもやはりベルヌーイの論拠は疑わしくなります。ある曲線を表示するxとyの間の方程式が有限方程式、すなわちxの微分やyの微分を含まない方程式であれば、もしその方程式においてyを-yに変えてもそのまま成立するなら、この曲線は切除線xを切り取る軸に関して対称的な形になっています。この事実を指して、x軸(文字xで表される切除線がそこから切り取られる軸、という意味)はこの曲線のダイアメータ(径)になっているというふうに言い表わすこともあります。さて、もしx軸が対数曲線のダイアメータになっているなら、ベルヌーイの言う通り、対数曲線は二本分枝をもつことになりますし、実際に対数曲線の微分方程式y dx=dyはyを-yに変えてもそのまま成立します。ですが、だからといってx軸が対数曲線のダイアメータになっているとは言えません。なぜなら、一般に曲線の微分方程式には元の曲線よりもはるかに多くの曲線が内包されていて、「曲線の微分方程式を考察するだけで曲線の形を判断するのは不可能」(オイラーの言葉)であるからです。たとえば、微分方程式
   2y dy=adx (aは定量)
はたしかに放物線y^2=axが含まれてはいますが、この微分方程式の積分は
   y^2=ax±ab
という形になることを思えば納得されるように、他にも無数の放物線が同時に含まれています。同様に、対数曲線の微分方程式ydx=dyには、元の対数曲線のほかに放物線x=log(ny)もまた含まれています。

 これらの論拠に比べると、ベルヌーイの挙げている第三の論拠ははるかに強力です。nが奇数のとき、微分方程式dx=dy/yを積分するとxとyの間の方程式が見つかり、代数的な曲線が得られますが、肝心のn=1の場合は例外と見なければならないところです。nが1でなければ積分方程式は代数的になりますが、n=1の場合は唯一の例外です、そのような例外が起りうることを、オイラーは例を挙げて説明しています。
 今、オイラーにならって関数
   y=√ax+(a^3(b+x))^(1/4)
のグラフとして描かれる曲線を考えると、x軸はこの曲線のダイアメータになっているように見えます。なぜなら、冪を作って、この方程式を冪根のない形に変えると、yに関する8次の方程式が得られますが、そこに見られるyの冪次数はすべて偶数だからです。ところが、b=0のときは例外で、この場合、方程式を変形して冪根をもたない形に変えると、
   y^4-2axyy-4(a^2)xy+(a^2)(x^2)-(a^3)x=0
という4次方程式になります。ここには項4(a^2)xyが存在し、そのためx軸はもはやこの曲線のダイアメータではなくなってしまうのです。

ベルヌーイの論拠に対する数々の異議

 ベルヌーイが試みたいろいろな論拠に対し、オイラーは次々と異議を申し立てていきます。ベルヌーイのように、微分と微分が等しいからといってlog(-x)=log(+x)となると主張するのであれば、log 2x=log xもまた成立してしまいます。なぜなら、この等式の左辺の微分は(2 dx/2x)=(dx/x)であり、log xの微分と合致するからです。同じ議論により、もっと一般に、任意の整数nに対して等式log nx=log xもまた成立することになります。ではありますが、「これは、ベルヌーイが自分自身にさえも決して同意することのない帰結である」とオイラーは言っています。たしかにlog nx=log xというのは見た目にも奇妙な等式で、上記の通りの議論がどうであれ、この場合、すべての整数nに対してlog n=0ということになってしまうのですから、これを受け入るのはだれにとっても心情の抵抗が大きすぎるのではないかと思われます。それで、この議論に論拠を求めて得られた等式log(-x)=log(+x)もまた、疑わしくなってきます。
 等式log(-x)=log(+x)を受け入れれば、そこからlog(-1)=log(+1)=0が導かれますが、逆に、もしlog(-1)=0であれば、log(-x)=log(+x) +log(-1)=log xとなります。それで、等式log(-x)=log(+x)が疑わしい以上、log(-1)=0もまた受け入れるわけにはいきません。
 オイラーによる異議の説明が続きます。ベルヌーイは対数曲線の微分方程式y dx=dyの形状に根拠を求め、対数曲線は実は同じ形の二本の分枝をもち、それらは軸の両側に配置されているのだと主張しましたが、この微分方程式はyを-yに変えてもなお成立するから、というのがベルヌーイの論拠でした。ですが、それならyを2yに取り替えても、この微分方程式は依然として成立しますし、もっと一般に、nは整数として、yをnyに変えても事情は同じです。そうすると、ベルヌーイの論拠によれば、対数曲線は実は無数の分枝をもつことになり、しかも、

《切除線xはそれらの分枝の共通の対数であり、yと-yの対数であるばかりか、2yの対数でもあり、一般に、nがどのような数であっても、nyの対数でもあることになる》

ということになります。すなわち、すべての整数nに対し、log ny=log y=xとなりますが、前と同じ理解しがたい状勢に出会ってしまいます。

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プロフィール

オイラー研究所の所長です

Author:オイラー研究所の所長です
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オイラー生誕300年を期して熱くオイラーを語り合いましょう。
西暦2011年は岡潔先生の生誕110年の節目の年です。
西暦2013年は岡潔先生のエッセイ集『春宵十話』が刊行されてから50年目の節目です。

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