つれづれなるままに

　オイラーの論文[E251]に立ち返り、序文の続きを読んでみたいと思います。すでに目を通したのは第1節から第3節までで、オイラーは微分方程式の特殊解と一般解、代数的な解と超越的な解について語っていました。微分方程式において、「解」と言っても「積分」と言っても意味は同じであること、完全積分という言葉は一般解と同義であることに、あらためて注意を喚起しておきたいと思います。

《4.　このようなわけで、ある微分方程式について、たとえその完全積分が超越的であろうとも、それが代数的な特殊積分を許容することが起りうるのであるから、提示された微分方程式
　m dx/ √(1-x^4) = n dy/√(1-y^4)
の完全積分が、たとえこの微分方程式に対して代数的な特殊積分を提示することが可能であろうとも、超越的藷量を含むのではないかと疑う理由がないわけではない。実際、完全積分は
　m∫dx/ √(1-x^4) = n ∫dy/√(1-y^4) + C
となるが、これらの積分は円や双曲線の求積法に手段を求めても決して定めることができないのであるから、一般的に見て超越的なこれらの式が、定量Cは不定に留まるという状勢において、xとyの間の代数的関係式に帰着されるということが本当にありうるとは決して思われないのである。》

《5.　なるほど確かに、微分方程式
　m dx/√(1-x x) = n dy/√(1-y y)
の完全積分は、もし係数mとnの比が有理的であれば、いつでも代数的に提示することが可能である。だが、この式の両辺の積分はどちらも円弧を表している。したがってその完全積分はm Asin x = n Asin y + C であるが、有理的な相互比を保持する弧と弧に関する正弦と正弦の関係は代数的に表示されうるのであるから、これらの場合についても完全積分方程式が代数的に提示されうるのは不思議ではない。しかし、超越的な式dx/√(1-x^4)とdy/√(1-y^4)においてはこのような比較の可能性はないし、少なくとも確立されていないのであるから、代数的量への積分の還元は求めてもかなえられないことであろう。

6.　しかし、それにもかかわらず、もしこのような微分方程式
　m dx/√(1-x^4) = n dy/√(1-y^4)
が提出されたとするならば、その完全積分は、それはもちろん任意定量を含んでいるのだが、比率m : nが有理的であるときにはいつでも代数的に表示されうるという状勢を私は観察した。それに、これはよりいっそう注目に値すると私には思われるのだが、私は確実な方法によってその積分に導かれていったというわけではなく、むしろ、さまざまな試みと推測を通じてそれを発見したのである。それゆえ、この積分へと導いてくれる直接的方法が見つかれば、解析学の領域が相当に拡大されることになるのは疑う余地がない。まさしくそれゆえに、解析学の探究に向けてありとあらゆる努力が傾けられてしかるべきであろうと思われるのである。》

　オイラーはファニャノの発見に示唆を得て、係数mとnの比率は有理的として、微分方程式
　m dx/√(1-x^4) = n dy/√(1-y^4)
の完全積分、すなわち一般解を求めることに成功しました。その手順を具体的に叙述することが論文[E251]のテーマなのですが、オイラーの意図はここまでの序文を通じてだれにもはっきりと諒解されるのではないかと思います。

　ここで再度ファニャノの言葉に立ち返ると、これまでに何度も繰り返して語ってきたことですが、ファニャノの研究の契機になったのは、イソクロナパラケントリカ（測心等時曲線）の作図をレムニスケートの作図に帰着させたベルヌーイ兄弟の発見であり、レムニスケート曲線の名が高まったのもこの発見によるのでした。ファニャノの後、レムニスケートはガウスとアーベルの手で取り上げられて、数論と楕円関数論の新たな領域が開かれるにいたりましたが、そのレムニスケート曲線が数学の現場に登場した時点にさかのぼると、イソクロナパラケントリカという、変分計算の世界の著名な曲線に出会います。さながら数論と楕円関数論と変分法が融合して一個の種子と化したかのようなめざましい数学的情景で、心を惹かれます。
　ファニャノの発見がオイラーに及ぼした影響については上述した通りですが、これだけではわからないこともまた残されています。それは、イソクロナパラケントリカの作図を試みたというベルヌーイ兄弟の数学的意図は何だったのかということなのですが、そのような試みを通して、ベルヌーイ兄弟は何を明らかにしようとしたのでしょうか。それと、この問題をレムニスケートの作図に帰着させることに、どのような数学的意味が認められるのでしょうか。この問いに答えるには、無限解析もしくは無限小解析のはじまりのころ、すなわちオイラー以前にさかのぼらなければなりませんが、ここでは将来の歴史的考察の課題として提起するだけに留めたいと思います。

　前回はレムニスケートの二等分点を指定する方程式
　u√2/√(1-u^4)= (1/z) √(1-√(1-z^4))
に着目し、この方程式は微分方程式
　dz/√(1-z^4) = 2 du/√(1-u^4)
のひとつの代数的積分を与えているというオイラーの視点を紹介しました。ファニャノが発見したいろいろな変換式の中は、どれもみなオイラーの視点が適用されるものばかりですが、一番簡単で、しかも印象が深いのは、
(1)　u=√((1-z^2)/(1+z^2))
という変換式ではないかと思います。平方根をはずして表記すると、
(2)　u^2 z^2+u^2 + z^2 -1 = 0
というきれいな代数方程式が現われますが、これは微分方程式
(3)　dz/√(1-z^4)= - du/√(1 - u^4)
のひとつの代数的積分です。代数的解と言っても意味は同じです。「ひとつの代数的積分」と言って「ひとつ」を強調したのはなぜかというと、上記の微分方程式(3)の解は一個とは限らず、一般に無数に存在し、一般解を求めようとすると必ず不定定量が介在することになるからです。一般解に対し、個々の解のことを特殊解もしくは特殊積分と言いますが、この言葉を使うなら、ファニャノは微分方程式(3)のひとつの特殊積分を発見したということになります。オイラーはファニャノの発見をそのように解釈し、なお一歩を進めて一般解を発見することに成功しました。オイラーは一個の特殊積分を見つけることができずに行き詰まっていたのですが、ファニャノの論文にヒントを得て、先に進むことができたのでした。
　もう少し具体的に言うと、これがオイラーの発見なのですが、微分方程式(3)の一般解は、cは定量として、
(4)　u^2+z^2+(c^2)( u^2)(z^2) = c^2+2 u z √(1-c^4)
という形になります。方程式(3)の両辺を積分すると、Kは定量として、
(5)　∫dz/√(1-z^4)= -∫du/√(1 - u^4) + K
という等式が得られます。ここで、左辺の積分はz = 0からzまで、右辺の積分はu = 0 からuまでの範囲で行われますが、方程式(4)においてz = 0と置くとu = cとなることに着目すると、定量Kもまた同じレムニスケート積分であること、すなわち
　K =∫du/√(1 - u^4)
　（右辺の積分の範囲はu = 0からu = cまで）
という形に表示されることがわかります。この事実を形を整えて提示すると、

　∫dz/√(1-z^4) + ∫du/√(1 - u^4) =∫dc/√(1 - c^4)
　（積分の範囲は、左辺の第一積分ではz = 0からz まで、第二積分ではu = 0からuまで、右辺の積分ではc = 0からcまで）

という積分等式が得られます。言い換えると、二つのレムニスケート積分の和が再びレムニスケート積分になっています。これが、オイラーの発見した「レムニスケート積分の加法定理」です。

　こんなふうにしてファニャノはレムニスケートの四分の一部分の全弧と一般弧の二等分を指定することに成功しましたが、さらに歩を進め、全弧に限定してのことではありますが、三等分と五等分にも到達しました（一般弧の三等分と五等分はできませんでした）。この発見はファニャノの独創ですが、ファニャノ自身にとってもお気に入りだったようで、「第二論文」の末尾で「これは私の曲線の新しくて特異な性質である」と言い添えています。
　ファニャノが発見したレムニスケートの等分理論は後にガウスとアーベルに継承されて、「楕円関数の等分理論」が生れました。その際、等分点を決定するために高次の代数方程式を解かなければならない場面に直面するのですが、その代数的可解性をめぐり、「虚数乗法論」という新たな数学の領域が開かれました。それについては後に詳しく語る機会が訪れることと期待したいところですが、それはそれとして、ここまでのファニャノの回想を踏まえてオイラーに立ち返りたいと思います。オイラーはファニャノの理論に深い影響を受けた一番最初の人物なのですが、受け継いだのは等分理論ではありませんでした。ファニャノの理論に接したころ、オイラーはある特定のタイプの微分方程式が解けなくて行き詰まっていたのですが、ファニャノの論文の中に、その壁を乗り超えるヒントをみいだしたのでした。
　ファニャノが発見したレムニスケートの一般弧の二等分を回想すると、二つの変化量uとtが
(1)　u√2/√(1-u^4) = (1/z) √(1-√(1-z^4))
という関係により結ばれているとき、レムニスケートの線素を表示する微分式の間に、
(2)　dz/√(1-z^4) = 2 du/√(1-u^4)
という関係が成立するというのでした。等式(1)から等式(2)が導かれるということですが、視点を逆にして、はじめに微分方程式(2)が提示されたと見れば、等式(1)はそのひとつの解を与えていることになります。微分方程式(2)はまさしくオイラーが解けなかったタイプの方程式だったのですが、ファニャノを見ると解のひとつが記述されていたのですから、オイラーが受けた衝撃の大きかったことは容易に想像されるところです。このようなオイラーの受け取り方はファニャノの主観に内在した数学的意図とは無関係ですが、二つの等式(1)と(2)の関係を形式的、論理的、客観的に観察する限り、等分理論とも見えれば、微分方程式の解法理論とも見えるということで、数学にはよくこんなことが起ります。
　ここで、オイラーの第二番目の論文
　［E251］「微分方程式m dx/√1-x^4 = n dy/√1-y^4の積分について」
の冒頭の部分を引用したいと思います。

《1.　ファニャノ伯爵による種々の発見を機として、私はまずはじめにこの方程式を考察した。するとただちに、この方程式を満たす変化量 と の間のひとつの代数的関係式が見つかった。ただし、その関係式には、積分による計算ではいつでも導入されることになっている任意定量が含まれていないのであるから、それを完全積分方程式と見ることはできない。そこで、よく知られているように、完全積分と特殊積分は区別するのが慣わしになっている。すなわち、完全積分は微分方程式の全内容を汲み尽くすが、特殊積分は微分方程式の一部分を満たすだけに留まり、その結果、そのほかにもなお、他の表示式もまた提示された微分方程式を満たすということがありうるのである。他方、完全積分方程式の判定基準は、その方程式に、提示された微分方程式には現れない定量を含んでいなければならないという点に求められる。》

《2.　これらの事柄をいっそう明瞭に認識するためには、もっとも簡単な微分方程式dx = dyを考えれば十分である。積分x = yは確かにこの微分方程式を満たすが、実際にはこの積分は微分方程式dx = dyよりも守備範囲がせまいのは明らかである。というのは、aとして任意の定量を取るとき、明らかにはるかに広い守備範囲を覆う積分x = y-+aもまた、この微分方程式を満たすからである。そうして、この積分には、上記の微分方程式には姿を現さない定量aが存在するのであるから、この積分は微分方程式dx = dyの全内容を汲み尽くすと考えられて、まさしくそれゆえに完全積分方程式という名で呼ばれるのである。不確定定量aの代りに、定まった諸値を用いれば、完全積分からいろいろな特別積分が得られるが、それらはこの手続きそれ自身に起因して、提示された微分方程式よりも守備範囲がせまいことは明らかである。》

《3.　ところで、ある微分方程式について、その完全積分が超越的であるのに、特殊な代数的積分がもたらされるという事態がしばしば起りうる。このようなことは、もしその完全積分の超越的部分に任意定量が乗じられているなら、明らかに生起する。そのような形になっているために、定量を0と等値して計算するとその超越的部分が消失してしまい、特別な代数的積分が残されるのである。たとえば、値y = xが方程式dy = dx+(y-x) dxを満たすのは明らかだが、この微分方程式に含まれている特殊積分はただひとつにすぎない。というのは、eはその対数が=1である数を表すとするとき、この微分方程式の完全積分はy =x+a e^xであるからである。もし等しい任意定量aが消失しない限り、この積分はいつでも超越的なのである。》

　微分方程式の解は関数ではなく、変化量相互を結ぶ関係式なのですが、その関係式が代数方程式であれば、その解は代数的と言われ、e^xのような超越量が介在する場合には超越的と言われます。オイラーが追い求めていたのは代数的な解でした。「解」と言っても「積分」と言っても意味合いは同じです。

　ファニャノの第一の発見と第二の発見には究明の動機がありましたが、ここから派生した第三の発見になると単なる思いつきとしか見えません。ですが、ファニャノはレムニスケート積分の形を変えない変化量の変換式をたまたま発見したというほかはありませんが、当初の二つの発見を誘った明確な動機がなかったなら、第三の発見へといたる道筋は決して見えなかったにちがいないのですから、まったくの偶然の産物とも言えないところです。明確な研究動機が発見を誘い、発見がまた発見を誘うというふうに究明が進行し、思いもかけない数学的光景が見えてくるというのもまた、数学研究のひとつの姿なのではないかと思います。
　ファニャノは「レムニスケートを測定する方法　第一論文」に続いて、「第二論文」を書きましたが、ここではファニャノは当初の動機から完全に離れ、レムニスケート積分を同種の積分に変換する変化量の変換式を次々と見つけていきました。数学的自然の中に新しい情景をみいだして、よほどおもしろかったのでしょう。第二論文の「定理I」では
　x=√(1- +√(1-z^4))/z （「- +」は「-」の下に「+」が配置された記号で、「±」の上下を逆にした記号です）
という変換式を取り上げて、この式により変化量を変換すると、レムニスケート曲線を線素を表す微分式は
　±dz/√(1-z^4) = dx √2/√(1+x^4)
と変換されることを示しました。証明そのものは単に代入して計算するだけのことで、何事でもありません。変換式の提示それ自体に意味のある発見です。変換された右辺の微分式はレムニスケート曲線の線素に形が似ていますが、わずかな相違も認められます。
　定理IIでは、変換式
　x = √(1- +z)/√(1±z)
により変化量を変換すると、微分式は
　- +dz/√(1-z^4) = dx √2/√(1+x^4)
と変換されること、定理IIIでは、変換式
　x = u √2/√(1-u^4)
により変化量を変換すると、微分式は
　du/√(1-u^4) = 1/√2×dx/√(1+x^4)
と変換されること、定理IVでは、変換式
　x = √(1- t^4)/t√2
により変化量を変換すると、微分式は
　-dt/√(1-t^4) = 1/√2×dx/√(1+x^4)
と変換されることが示されます。これらの事柄を集積したうえで定理Vに移ると、レムニスケートの一般弧の二等分が手に入ります。具体的に状況を見ると、定理Iと定理IIIを適用するのですが、これらの二定理ではレムニスケート曲線の線素の微分式±dz/√(1-z^4) と、それに形が似ている微分式dx/√(1+x^4)の間の関係が既述されています。そこでこれらの定理を相次いで適用すればレムニスケートの線素は再びもとにもどってくることがわかりますが、そのとき係数に「2」がついてきます。この様子を述べたのが定理Vで、変換式
　u√2 = (1/z) √(1-√(1-z^4))
により変化量を変換すると、レムニスケートの線素は
　dz/√(1-z^4) = 2 du/√(1-u^4)
と変換されることがわかります。
　そこでレムニスケート曲線の第一象限内の四分の一部分の上に点Sを取り、これまでもそうしてきたように弦CSをzで表します。それからこのzを用いて、方程式
　u√2 = (1/z) √(1-√(1-z^4))
により量uを定めます。そうして同じレムニスケートの上にもうひとつの点Iを取り、その際、弦CI = u となるようにします。すると、等式dz/√(1-z^4) = 2 du/√(1-u^4)の両辺を積分することにより、

　弧CS = 2・弧CI

となること、言い換えると点Iは弧CSの二等分点であることがわかります。これで、レムニスケート曲線の一般弧の二等分の仕方が明らかになりました。

　ファニャノはレムニスケートの弧長の測定を楕円と等辺双曲線の弧長測定に帰着させることに成功しましたが、このめざましい事実の根幹を作るのは、
　t= a √(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
という形の変化量の変換式の発見でした。このような式をどのようにして発見したのか、その道筋はわかりませんが、この式から出発してレムニスケート積分を楕円と等辺双曲線の弧長積分に変換するのは、簡単な微分計算の手順を追うだけのことにすぎません。証明というほどのこともなく、重要なのはただ、上記のような特異な形をもつ変化量の変換式の発見という一事のみにすぎません。
　ファニャノの当初の目的、すなわちレムニスケートの弧長の測定を、レムニスケートよりも簡単そうに見える曲線の弧長測定に帰着させるというねらいはこれで達成されましたが、ファニャノはここを起点としてなお一歩を進めました。それもまた非常に素朴な作業なのですが、ファニャノは上記の変換式の平方根内の分母と分子を入れ換えて、
　u= a √(a^2-z^2)/(a^2+z^2)
という変換を考えました。レムニスケート積分においてこの変換を行うと、簡単な微分計算を行うだけで確かめられるように、

　∫a^2 dz/√(a^4-z^4)=∫-a^2 du/√(a^4-u^4) +K

という等式が得られます。ここで、Kは定量です。右辺の積分には負の符合がついていますが、やはりレムニスケート積分です。すなわち、ファニャノはレムニスケート積分を同じレムニスケート積分に変換する変換式を発見したことになります。これがファニャノの第三の発見です。
　この積分等式を幾何学的に解釈すると、レムニスケートの二等分点を指定することが可能になります。レムニスケートの第一象限内の四分の一部分の上に任意の点Qを取り、その弦をCQ=zで表します。このzを用いてu= a √(a^2-z^2)/(a^2+z^2)を作り、レムニスケートの四分の一部分の上の点Eを、弦CE=uとなるように定めます。z=0のときu=aとなることに着目すると、積分∫a^2 dz/√(a^4-z^4)をz = 0からzまで実行するとき、積分∫-a^2 dz/√(a^4-z^4)はu = aからuにわたって行われることがわかります。負符合がついていることに留意すると、この積分は弧EAの長さを表していることが諒解されますから、そうしてz = 0のときはQ=Cですから弧CQの長さは消失して0になりますし、この場合、u=aとなりますから、点Eは点Aと一致して、弧EAもまた焼失します。それゆえ、定量Kは実は0であることがわかります。これで、等式

　弧CQ = 弧EA

が手に入りました。
　z = u と置くと、レムニスケートの四分の一部分の二等分点が見つかります。そのためには方程式
　z = u = a √(a^2-z^2)/(a^2+z^2)
を解くことになりますが、これを実行すると、
　z=u= √((a^2)√2-a^2)
という数値が得られ、二等分点の位置が判明します。レムニスケートの等分理論の端緒が、こうして開かれていきました。

　ファニャノの第二の発見の意味合いを明確に把握するために、もう少し言い添えたいと思います。積分等式

　∫a^2 dz/√(a^4-z^4)=∫dz/√(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
　　　+∫t^2 dt/√(t^4-a^4)-z t/a

において、左辺の積分と右辺の第一番目の積分はz = 0からzまで、右辺の第二の積分はt = aからtまで行われます。z=0と置くとt= aとなりますから、この場合、両辺はともに0となり、何事も起りません。ところがz = aと置くとtの値は無限大になってしまいます。この場合、上記の積分等式の左辺はレムニスケート曲線の第一象限内の四分の一部分の全長を表しますが、右辺の方はといえば、もはや幾何的解釈を許しません。すなわち、上記の積分等式はレムニスケートの四分の一部分の弧長について、何も情報を与えてくれないのです。
　この点の改良をねらって、ファニャノはもうひとつの積分等式を見つけました。それはごく簡単な等式で、二つの変化量zとrが
　r = a^2/z
という関係で結ばれているとき、三つの積分の間に、

　∫-a^2 dz/√(a^4-z^4)=∫-dz/√(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
　　　+∫r^2 dr/√(r^4-a^4)- (1/z)√(a^4-z^4)

という関係が成立するというのです。z = aのときr = aとなることに留意して、左辺の積分と右辺の第一番目の積分はz = aからzまで、右辺の第二の積分はr = aからrまで積分すると、この等式は、

　弧QA=弧IF+弧ML- (1/z)√(a^4-z^4)
　Qはレムニスケート上の点、
　A=(a, 0)もレムニスケート上の点、
　F=(a, 0)は楕円とx軸の正方向の部分との交点、
　M=(a, 0)は等辺双曲線の頂点、
　Lは等辺双曲線上の点

という幾何学的解釈を許します。この等式に、前に得られた等式
　弧CQ=弧DI+弧MO-z t/a
を加えると、

　弧CQ+弧QA = (弧DI+弧IF)+(弧MO+弧ML) - z t/a - (1/z)√(a^4-z^4)

となります。ここで、左辺の弧CQ+弧QAは弧CQA、すなわち第一象限内にあるレムニスケートの四分の一部分の全長に等しく、右辺の(弧DI+弧IF)は第一象限内にある楕円の四分の一部分の全長に等しくなります。また、同じく右辺の弧MO+弧MLは、等辺双曲線上の二点MとLを、ひとつは第一象限内に取り、もうひとつは第二象限内に取ると、弧LMOの長さを表します。最後の項z t/a + (1/z)√(a^4-z^4)においてt = a √(a^2+z^2)/(a^2-z^2)を代入して計算すると、この項はa t/zと等値されることがわかります。こうして、等式

　弧CQA = 弧DIF + 弧LMO - a t/z

が手に入ります。あるいはまた、これを4倍すれば、

《レムニスケート曲線の全長は、楕円の全長に等辺双曲線の弧LMOの4倍を加えて4at/zを差し引いた量に等しい》

というふうに言うことができます。ファニャノはこの事実を指摘したうえで、
「これは、レムニスケート曲線の新しく、めざましい性質である」と述べています。ここまではファニャノの第二の発見の守備範囲です。

　前回の末尾で「等辺双曲線」という言葉が出てきましたが、一般に双曲線の方程式は、a とbは正の定量として、
　x^2/a^2-y^2/b^2=1
という形に表示されます。この方程式から出発して双曲線の線素dsを算出してみたいと思います。計算の手順は楕円の場合と同様で、まずはじめに双曲線の方程式を微分して、「双曲線の微分方程式」、すなわち
　x dx/a^2-b dy/b^2=0
を作ります。これより、
　dy=(b^2) x dx/(a^2 y)
となります。すると、
　(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2
　= (dx)^2 (1+(b^4 x^2)/(a^4 y^2))
　=　...
　= (dx)^2 ((a^2+b^2)x^2-a^4)/((a^2)(x^2-a^2))
ここで、「双曲線のパラメータ」と呼ばれる定量
　p=2 b^2/a
を導入し、さらに
　h=p+2a
と置くと、
　b^2=a p/2= a (h-2a)/2=ah/2-a^2
よって、a^2+b^2=ah/2。これを上記の線素dsの表示式に代入すると、
　(ds)^2= ... = (dx)^2 (hx^2-2a^3)/(2ax^2-2a^3)
というふうに計算が進み、さらに平方根を作れば線素の表示式が手に入ります。
　さて、特にa=bの場合を考えると、楕円の方程式は
　x^2-y^2=a^2
という形になりますが、これが「等辺双曲線」です。この場合、
　p=2a, h=4a
となることに留意すると、線素の表示式の簡易化はいっそう進み、
　ds=　...
　　=dx√(2x^2-a^2)/√(x^2-a^2)
という形になります。これは相当に簡明な形ですが、双曲線の弦、すなわち原点から双曲線上の点までの距離t、すなわち
　t=√(x^2+y^2)
を使うと、線素dsの表示式はさらに形が変ります。y^2=x^2-a^2より、
　t^2=x^2+y^2
　　=2 x^2-a^2
よって、
　x=√(t^2+a^2)/√2
よって、
　dx=...=t dt/(√2√(t^2-a^2))
これらを代入して計算を進めると、線素dsの表示式はさらに変形されて、
　dz-...=t^2 dt/√(t^4-a^4)
という、レムニスケート曲線の線素の表示式に似た形になります。
　ここで、前回の最後に得られた式
　∫a^2 dz/√(a^4-z^4)=∫dz/√(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
　　　+∫t^2 dt/√(t^4-a^4)-z t/a
に立ち返ると、右辺の第二番目の積分は等辺双曲線の弧長積分であることがわかります。
　この等式を幾何学的に解釈するとこんなふうになります。まずレムニスケート曲線の上に点Qを取り、原点から点Qまでの距離をzで表します。次に、楕円上の点Hを、そのx座標がzになるように定めます。次に、このzを使って量
　t= a √(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
を作り、等辺双曲線上の点Oを、原点から点Oまでの距離がtに等しくなるように定めます。このとき、上記の積分等式は、

　弧CQ=弧DI+弧MO-z t/a
　点D=(0, a√2)は楕円とy軸の正の部分
　との交点, M=(a, 0)は双曲線の頂点。

という事実を教えていますが、これによりレムニスケートの弧長測定が楕円と等辺双曲線の弧長測定に帰着されました。ベルヌーイ兄弟はイソクロナパラケントリカ（測心等時曲線）の弧長測定をレムニスケートの弧長測定に成功したということですが、ファニャノはこの発見をさらに押し進めたことになります。これがファニャノの第二の発見ですが、発見の実質は新たな変化量
　t= a √(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
の発見という一点において認められることに、くれぐれも留意したいと思います。

　ファニャノの論文「レムニスケートを測定する方法　第一論文」に沿って、ファニャノの第二の発見の様相を概観したいと思います。x-y平面を設定し、原点をCで表します。レムニスケートというのは、aは正の定量として、
　x^2+y^2=a √(x^2-y^2)
という方程式で表される曲線で、丹念に描いていくと、アラビア数字の「８」を横にした形、すなわち無限大記号「∞」のような形が浮かび上がります。形状「∞」の結び目は原点に対応し、x軸の正方向を作る半直線とは、点A=(a, 0)において交叉します。レムニスケート曲線の方程式はxとyに関して対称的ですから、この曲線はx軸に関して、それにy軸に関してもまた対称的に配置されていることがわかります。そこでレムニスケート曲線の第一象限内の部分（長さを見ると、きっかり四分の一になっています）に着目し、その上の点Qを任意に取って、弦CQ=√(x^2+y^2)をzで表します。このとき、これはだいぶ前に計算したことですが、レムニスケートの線素は微分式

　ds=a^2 dz/√(a^4-z^4)

で与えられますから、レムニスケートの弧長は積分

　s=∫a^2 dz/√(a^4-z^4)

で表示されます。ところが、この積分もまた楕円積分（特に、レムニスケート積分という名で呼ばれています）であり、既知の関数（多項式、三角関数、指数関数、対数関数）を用いるのでは計算できません。この状況を指して、レムニスケート曲線は求長不能であるというのでした。
　今度は楕円
　(x^2)/(a^2)+y^2/(b^2)=1
を取り上げると、その線素を表示する微分式は
　ds=dx √(h x^2+2 a^3)/√(2 a^3-2 a x^2)
となるのでした。ここで、b=a √2という特別の場合を考えると、次々と

　p=2b^2/a=4 a
　h=p-2 a=2 a
　ds=dx√(2 a x^2+2 a^3)/(2 a^3-2 a x)
　　=√(x^2+a^2)/(x^2-a^2)

と計算が進みます。
　さて、レムニスケート積分
　∫a^2 dz/√(a^4-z^4)
において、ファニャノは
　t= a √(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
という形の変化量の変換を行いました。これに伴ってレムニスケート積分の形も変り、

　∫a^2 dz/√(a^4-z^4)=∫dz/√(a^2+z^2)/(a^2-z^2)
　　　+∫t^2 dt/√(t^4-a^4)-z t/a

という等式が成立します。これがファニャノの第二の発見です。証明は簡単な微分計算を行うだけのことですので、特に言うことはありませんが、ファニャノがこのような事実を発見したという、まさしくそのことに、くれぐれも留意しなければならないところです。証明は容易であっても、発見された小さな発見の中に何かしら深遠な物事が秘められている可能性はつねにありますし、その場合、その全容を明るみに出すのは必ずしも容易とは言えないからです。
　上記の等式において、右辺の第一番目の積分は楕円の弧長積分ですが、第二の積分についてはまだ何も説明していません。これは等辺双曲線の弧長積分であり、やはり楕円積分の仲間です。

　ファニャノの主定理を楕円の弧長積分に適用すると、「差を幾何学的に指定することのできる二つの弧」を自由に描くことができるようになります。前にそうしたようにx-y平面上に楕円
　(x^2)/(a^2)+y^2/(b^2)=1
を描き、この楕円上に4個の点
　　A=(0, b),　G=(a, 0),　H=(0,-b),　I=(-a, 0)
を指定します。楕円の線素を表示する微分式
　ds=dx √(h x^2+2 a^3)/√(2 a^3-2 a x^2)
を主定理の微分式Xと比較すると、Xにおいて
　l=2 a^3, f=-2a , g=2 a^3
置くと、楕円の線素が得られることがわかります。このような状勢のもとで主定理の適用を考えます。
　楕円上に任意の点Bを指定し、その横座標をxで表します。このxを用いて式
　z=a√(2 a^3-2 a x^2)/√(h x^2+2 a^3)
を作り、この値zを横座標にもつ点Fを楕円上に取ると、主定理により、等式
　弧AB+弧AF=-h x z/(2 a^3)+K
が得られます。ここでKは積分定数と呼ばれる定量ですが、x=0のとき、一次式h x z/(2 a^3)と弧ABはどちらも0になることに留意すればKの値が判明します。実際、その場合、弧AFは楕円の第一象限内の全弧AG（楕円の全長と比較すると、弧AGの長さは四分の一になります）に等しくなりますから、Kはその全弧AGに等しくなります。よって、弧AF＋弧GF=K=全弧AG。そこで上記の一番最後の等式の諸項の配置を変えて、弧AF-Kすなわち弧AF-弧AGに代って弧GFを用いると、等式

　弧AB-弧GF=-h x z/(2 a^2)

が手に入ります。右辺はxとzを用いて組み立てられた簡単な表示式ですから、xの数値が指定されたとき、zの値とともに、右辺の式-h x z/(2 a^2)の値もまた即座に算出可能です。これで、「差の計算」が可能な二つの弧を楕円上に指定することができました。
　楕円の弧の測定ということでしたら、線素dsを寄せ集めて、積分
　∫ds=∫dx √(h x^2+2 a^3)/√(2 a^3-2 a x^2)
を計算すればよいわけですが、この積分は楕円積分と呼ばれるむずかしい積分で、一見すると簡単そうに見えるものの、多項式や三角関数や指数関数、対数関数のような既知の関数を用いてその値を表示することはできません。オイラーの論文［E252］の標題に「求長不能曲線」という言葉が出ていますが、この意味において楕円の弧は求長不能です。双曲線とレムニスケートの弧長積分もまた楕円積分であり、やはり求長不能なのですから、曲線の弧長測定という簡明な問題は思いのほか複雑な事情を打に秘めていることがわかります。ファニャノはこのような状勢を眼前にして、求長が可能な「二つの弧の差」の算出をめざすという形に問題を設定し、ひとつの解答が提示された次第です。
　ファニャノの主定理は双曲線とレムニスケートに対しても適用可能ですから、双曲線とレムニスケートについても、楕円の場合のように、「差の算出が可能な二つの弧」を指定することができます。これがファニャノの第一の発見です。

　曲線の弧長の測定は、曲線で囲まれる領域の面積の算出と並んで、積分の理論形成にあたって最も基本的な契機を与えた問題です。弧長測定の実際の計算手順を見ると、まずはじめに曲線の方程式f(x, y)=0を微分して、「曲線の微分方程式」、すなわち
　　Adx+Bdy=0, A=∂f/∂x , B=∂f/∂y
という形の方程式を作ります。そのうえで曲線の線素ds、すなわち曲線の無限小部分の弧の長さを求めるのですが、そのためには無限小の世界に移行してピタゴラスの定理を使い、
　　ds=√((dx)^2+(dy)^2)
というふうに計算します。このあたりの消息は既述の通りです。この計算の根柢にあるのは、曲線を「無限小の線分（まっすぐな線）がつながって形成される線（まがった線）」と見るというアイデアですが、実際に無限小の世界へとぼくらを連れていってくれる計算法が、すなわち微分計算なのでした。
　ファニャノは論文「楕円、双曲線およびサイクロイドの弧の新たな測定を取り出すことのできる一定理」の主定理を楕円と双曲線とレムニスケートに適用しいていますが、一例として楕円
　　(x^2)/(a^2)+y^2/(b^2)=1
の線素を算出してみたいと思います。楕円の方程式を微分すると、
　xdx/(a^2)+ydy/(b^2)=0
となります。これより、微分dyの微分dxによる表示式
　dy=-((a^2) xdx)/((b^2) y)
が得られます。よって、
　(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2
　　=(dx)^2+(a^4 x^2 ) (dx)^2/(b^4 y^2)
ここで、
　　y^2=a^2 (1-(x^2)/(b^2))
を代入してさらに計算を進めると、
　(ds)^2=(h x^2+2 a^3)(dx)^2/(2 a^3-2 a x^2)
となります。計算はこれで完了しましたが、ファニャノにならって
　p=2(b^2)/a、h=p-2a=2(b^2-a^2)/a
と置いて新しい変化量hを導入すると、楕円の線素は
　ds=dx √(h x^2+2 a^3)/√(2 a^3-2 a x^2)
と表示されます。こうして求められた線素を「寄せ集めて」いけば、言い換えると「積分」すれば、曲線の弧長が算出されます。最後の段階は積分計算ですが、弧長の測定の根柢に横たわるのはあくまでも微分計算であることに、くれぐれも留意したいと思います。それと、この微分式の形に着目すると、ファニャノの主定理で提示された微分式(X)、(Z)と同じであることがわかります。このような諸事情は、双曲線やレムニスケートの場合についても同様です。

　ファニャノに追随して主定理の証明を概観したいと思います。主張されていることは次の通りです。
　第一に、もし方程式(1)（番号は前回の通りです）において冪指数sが+1を表すなら、下記の二つの微分式の結合X+Zの積分は-h x z/√(-f l)に等しいこと。
　第二に、もし同じ方程式(1)において冪指数sが-1を表すなら、X+Zの積分はx z√(-h)/√gに等しいこと。ここで、
　(X) dx√(h x^2+l)/√(f x^2+g)
　(Z) dz√(h z^2+l)/√(f z^2+g)
また、方程式(1)は
　(1)　(f h x^2 z^2)^2+(f l x^2)^2+(f l z^2)^2+(g l)^2=0
です。
　第一の部分の証明。方程式(1)を　zについて解くと、等式
　(2)　z=√(-f l x^2-g l)/√(f h x^2+f l)
が得られます。これはxによるzの表示式ですが、方程式(1)はxとzに関して対称的であることに留意すると、zによるxの値もまた等式(2)と同じ形に表示されることがわかります。そこで、多項式Xではzを使い、多項式Zではxを使うと、等式
　(3)　X+Z=dx√(-l)/(z√f)+ dz√(-l)/(x√f)
が得られます。ところが、方程式(1)を微分して、その後に2 f x zで割ると、
　　h z dx+h xdz+l dx/z+l dz/x=0
となります。すなわち、諸項の配置を変えて、√(-f l)で割ると、
　　dx√(-l)/(z√f)+dz√(-l)/(x√f)=h z dx/√(-f l)-h xdz/√(-f l)
となります。この等式の右辺を等式(3)の右辺の代りに用いて、その後に積分すると、等式
　(4)　　∫X+∫Z=-h x z/√(-f l)
が得られます。これで主定理の第一の部分が確認されました。
　主定理の第二の部分の証明。方程式(1)においてs=-1と置き、適宜計算を遂行すると、xによるzの表示式
　(5) z=√(-g h x^2-g l)/√(f h x^2+g h)
が見つかります。同様に、zによるxの表示式もまた見つかりますが、式の形は同じです。そこで、多項式Xではzを使い、多項式Zではxを使うと、
　X+Z=z dx √(-h)/√g+ x dz √(-h)/√g
となりますが、これを積分すると、
　(6) ∫X+∫Z=- x z√(- h)/√g
となります。これで第二の部分の証明が完成しました。